Teoria Dos Erros

Teoria dos Erros

Erros nas aproximações numéricas:

Na aplicação de métodos numéricos para obtenção da solução de problemas físicos, nem

sempre fornece valores que se encaixam dentro de limites razoáveis. Várias são as origens

da inexatidão das operações numéricas. Os erros podem se caracterizar como fortuitos ou

sistemáticos.

Fortuitos: são provenientes de variações acidentais ocorridas durante o processo de

medições.

Sistemáticos: são inerentes ao próprio sistema, devido a falta de precisão do

equipamento.

Uso de dados inexatos exemplo:  , 2

Números aproximados: No estudo de um cálculo aproximado é conveniente fazer distinção

entre números que são absolutamente exatos, e os números que representam valores

aproximados. Os números tais como 5, 1/4, 233 são exatos porque não há nenhuma

aproximação ou incerteza associada a ele. Por outro lado embora números tais como

 , 2 sejam exatos, não podem ser expressos corretamente em um número finito de

dígitos e sim como (3,14), (1,41) que constituem aproximações dos valores exatos, sendo

neste motivo números aproximados. Pelo exposto acima podemos definir número

aproximado como sendo uma representação de um valor exato, sendo a diferença entre os

dois bem pequena.

Algarismos significativos de um número:

Chamamos de algarismos significativos como sendo qualquer um dos dígitos numéricos de 1

a 9 (1,2,3...9). O zero também constitui um algarismo significativo exceto nos casos em que

é usado para fixar a posição do ponto decimal ou preencher casas decimais de dígitos

desconhecidos ou desprezados.

Zero (0) é significativo exceto se for fixador do ponto decimal ou for usado para preencher

casas decimais. Exemplo: 1,354 (4 significativos), 0,159 (3 significativos), 0,060 (1

significativo)

Observação: O zero a direita do algarismo 6 em (0,060) não pode ser considerado algarismo

significativo pois não sabemos sua origem.

Forma normalizada de um número.

Chama-se de forma normalizada de um número, a representação na forma de potência,

como exemplo 0,1214.10t, onde temos 4 algarismos significativos.

Arredondar X Truncar

A= 1,39

Aa=1,4 ; um significativo exato no arredondamento

At=1,3; dois significativos exatos no truncamento

Tipos de Erros:

A) Erro Absoluto

Chamamos de erro absoluto cometido na representação do valor exato A* por um

fator aproximado A, o módulo da diferença entre ambos. Erro absoluto A  A  A *

0 , erro

absoluto só compara medidas homogêneas. Considerando-se B* =3,141592 e B=3,14

(sua aproximação com 3 algarismos significativos), o seu erro absoluto será

3,141592 3,14 0,001592 * B  B  B   

B) Erro Relativo

O erro relativo tem por finalidade dar uma idéia do grau de influência do erro no

valor desejado; o erro absoluto não traduz este efeito se não soubermos a ordem de

grandeza do valor calculado.

O erro relativo será *

*

A

A A

A



  , como exemplo para B*=3,141592 o seu erro

relativo será:

3,141592

0,001592

1º Exemplo: Medindo-se a distância entre o ponto A e B encontramos d = 1,52 m, medindose

a pressão nesses 2 pontos em A encontramos Pa = 4,01 Kg/cm2 e em Pb = 3,98 Kg/cm2.

Sabendo-se que a distância entre A e B é de 1,5m e que a pressão em A é igual em B que é

4,0 Kg/cm2. Qual o instrumento de maior precisão?

Valores Medidos: d = 1,52 m, Pa = 4,01 Kg/cm2, Pb = 3,98 Kg/cm2

Valores Reais: dab = 1,5 m, Pa = Pb = 4,0 Kg/cm2

Calculando: d  d *d  1,5 1,52  0,02 ; 0,013

*

*







d

d d

d

  *  4,0  4,01  0,01 a a a P P P ; 0,0025

*

*







a

a a

a P

P P

P

  *  4,0  3,98  0,02 b b b P P P ; 0,005

*

*







b

b b

b P

P P

P

logo a resposta do exercício será o barômetro A com maior precisão.

Teoria dos Erros:

Se o erro relativo A cometido na aproximação de um valor exato A* por um valor

aproximado A for menor do que uma cota de um erro de referência:

N

ref K

A 



 1

( ) .10

2( 1)

1

 então o número A contém N algarismos significativos exatos, ou no

mínimo o erro absoluto associado será menor que meia unidade no enézimo algarismo

significativo exato. Observação: K é o primeiro algarismo significativo exato dos números

que seguem.

A = 1,763  N = 4 ; A = 1,763; A < 0,0005 ;

B = 1,7  N = 2 ; B = 1,7; B < 0,05

C = 23,17  N = 3 ; C = 23,1; C < 0,05 ; notação: 23,1  0,05 (não se pode

efetuar a operação)

 N = 2 ; C = 23; C < 0,5 ; notação: 23 0,5 ; C  [23,24)

 N = 1 ; C = 20; C < 5 ; notação: 20  5 ; C  [20,30)

D = 23,47  N = 2 ; D = 23; D < 0.5 ; notação: 23  0,5 ; D  [23,24)

 N = 1 ; D = 20; D < 5 ; notação: 20  5 ; D  [20,30)

E = 29  N = 1 ; E = 20; E < 5 ; notação: 20  5 ; E  [20,30).

X = 34 ; X < 0,5  N = 2 ; notação: 34  0,5

X = 30 ; X < 5  N = 1 ; notação: 30  5

X = 30 ; X < 0,005  N = 4 ; notação: 30  0,005

Y = 572 ; Y < 50  N = 1 ; notação: 500  50

2º Exemplo: Sabendo-se que no cálculo de uma função y = f(x) = x2 + 3x + 5 para x =  com

uma máquina de calcular que só fornece 3 algarismos significativos exatos comete-se um

erro associado igual a 0,0038. Entre que valores estará o valor real de f(x) ?

Passos: I) Calcular f(3,14)

II) Determinar N

ref k

y 



 1

( ) .10

2( 1)

1



III) Comparar y(abs) com y(ref)

IV) Determinar f(3,14) e y (3,14) para o valor de "N"

Resposta: I) f(3,14) = (3,14)2 +3.(3,14) + 5 = 24,27, logo K = 2

II) N

ref

N

ref y y    



 1

( )

1

( ) .10 0,166.10

2(2 1)

1

 

III)

N y(abs) < 0,38.10-2 Sinal y(ref) < 0,16.101-N

3

0,38.10-2

>

0,16.10-2

2

0,38.10-2

<

0,16.10-1

Logo N = 2

IV)

Resposta: y = 24 ; y < 0,5  notação: 24  0,5 ; y  [24,25)

Propagação de Erros:

O estudo da propagação de erros consiste em analisar o comportamento das variáveis dependentes quando se cometeu erros na variável independente. Exemplo: A medida do erro no volume de um cilindro está relacionada com erros cometidos nas grandezas de "r" e "h" ("r" e "h" influem no valor da grandeza calculada r2h). O erro cometido na variável dependente produzido por um erro na variável independente de uma função de uma variável real é calculado pela diferencial da função. Teoria dos errosTeoria dos erros Teoria dos erros Teoria dos erros Teoria dos erros O ato de medir é, em essência, um ato de comparar, e essa comparação envolve erros de diversas origens (dos instrumentos, do operador, do processo de medida etc.). Quando se pretende medir o valor de uma grandeza, pode-se realizar apenas uma ou várias medidas repetidas, dependendo das condições experimentais particulares ou ainda da postura adotada frente ao experimento. Em cada caso, deve-se extrair do processo de medida um valor adotado como melhor na representação da grandeza e ainda um limite de erro dentro do qual deve estar compreendido o valor real.

 Tipos de erro  Erros nos dados experimentais e nos valores dos parâmetros:

o Sistemáticos - Erros que actuam sempre no mesmo sentido e podem ser eliminados mediante uma seleção de aparelhagem e do método e condições de experimentação. o Fortuitos - Erros com origem em causas indeterminadas que actuam em ambos os sentidos de forma não previsível. Estes erros podem ser atenuados, o o mas não completamente eliminados.  Erros de truncatura - Resultam do uso de fórmulas aproximadas, ou seja, uma truncatura da realidade. Por exemplo, quando se tomam apenas alguns dos termos do desenvolvimento em série de uma função.  Erros de arredondamento - Resultam da representação de números reais com um número finito de algarismos significativos. Erro absoluto e erro relativo Todos os tipos de erro acima podem ser expressos como "erro absoluto" ou como "erro relativo". Também, pode ser tratados pela Análise Numérica ou pela Estatística. Seja X um número com valor exacto e x um valor aproximado de X. A diferença entre o valor exato e o valor aproximado é o erro de X Ao módulo deste valor, chama-se de Erro absoluto de X Logo, Como geralmente não temos acesso ao valor exato X, o erro absoluto não tem na maior parte dos casos utilidade prática. Assim, temos que determinar um majorante de Δ. Este valor designa-se de

. Satisfaz a condição: O mínimo do conjunto dos majorantes

de Δ, chama-se "erro máximo absoluto" em que x representa X. Em face das regras de arredondamento consideradas, um número com m casas decimais deve supor-se afectado de um erro máximo absoluto de: Geralmente, mais útil do que o erro máximo absoluto é a relação entre este e a grandeza que está afectada pelo erro. Ao quociente entre o "erro absoluto" e o módulo do valor exacto, chama-se Erro relativo de X.

No entanto, na prática não temos acesso ao erro relativo e temos que usar o majorante deste. Se Δ muito menor que X então,

Primeiro problema fundamental da teoria dos erros Estando os dados de um problema afetados de erro, calcula-se um majorante do erro em que a solução calculada representa a solução exata. 1. Erro na avaliação de funções de uma variável

2. Erro na avaliação de funções com mais de uma variável

que é a Fórmula Fundamental da Teoria dos Erros Problema inverso da teoria dos erros O problema inverso da teoria dos erros consiste em determinar a precisão com que se devem utilizar os valores aproximados

de x1,x2,x3,...,xn para que

seja um valor aproximado de f(x1,x2,x3,...,xn) com erro máximo absoluto inferior a um valor ε pré-estabelecido. Por simplicidade escolhe-se entre: 1. Princípio das influências iguais 2. Princípio dos erros iguais

 Erro Inerente

Erro sempre presente nas soluções numéricas devido à incerteza sobre o valor real

Ex. 01: Representação intervalar de dados

(50,3 ± 0,2) cm

(1,57 ± 0,003) ml

(110,276 ± 1,04) Kg

 Erro de Truncamento

Erro proveniente da limitação do número de iterações dos métodos numéricos durante a determinação de um valor de interesse

 Número de iterações

 Teórico  Infinito ou muito grande

 Prático  Limitado por restrições associadas à capacidade de processamento/ armazenamento do sistema

 Erro de Representação

Aproximação do valor de um número real para sua representação com um número finito de dígitos.

 Erro de Representação x Erro de truncamento

 Erro de Representação

 Associada à conversão numérica entre bases (representação humana e de máquina) ou à realização de operações aritméticas

 Erro de Truncamento

 Associada à quantidade de informação que a máquina pode conter sob a forma de um número

 Representação dos números reais com um número finito de dígitos (aproximação)

Ex. 02: Cálculo da área de uma circunferência de raio 100 m

Possíveis resultados:

(1) A = 31400 m2

(2) A = 31416 m2

(3) A = 31414,92654 m2

 não tem representação finita - 3,14 (1), 3,1416 (2) e 3,141592654 (3)

 Exatidão (Acurácia) x Precisão I

 Uso incorreto como sinônimos na linguagem cotidiana (e mesmo em linguagem técnica)

 Exatidão  Grau de concordância entre o resultado de uma medição e um valor verdadeiro do mensurando

 Exatidão é um conceito qualitativo

 Precisão  Grau de concordância entre resultados de medição

obtidos sob as mesmas condições (repetitividade)

 Exatidão é um conceito qualitativo

 Absoluto

 Diferença entre o valor exato de um número e o seu valor aproximado

 Relativo

 Razão entre o erro absoluto e o valor aproximado

 Erro Absoluto - Considerações I

 EAx só poderá ser determinado se x for conhecido com exatidão

 Na prática, costuma-se trabalhar com um limitante superior para o erro, ao invés

do próprio erro (|E | < ε, onde ε é o limitante)

Ex. 05: Para   (3,14, 3,15)

 Erro Absoluto - Considerações II

Ex. 05: Sejam a = 3876,373 e b = 1,373

Considerando-se a parte inteira de a (a’) o erro absoluto será:

EAa = |a - a'|= 0,373

e a parte inteira de b, b’, o erro absoluto será:

EAb = |b - b'|= 0,373

 Erro Absoluto - Considerações III

 Obviamente, o resultado do erro absoluto é o mesmo nos dois casos

 Entretanto, o peso da aproximação em b é maior do que em a

 Erro Relativo - Consideração

O erro relativo, entretanto, pode traduzir perfeitamente este fato, pois:

EA x x x  

x

(x x)

ERx





    0,01  EA

4

a 0,000096 10

3876

0,373

ER    

 Arredondamento

Ex: Cálculo de utilizando uma calculadora digital

Valor apresentado: 1,4142136

Valor real: 1,41421356...

 Inexistência de forma de representação de números irracionais com uma

quantidade finita de algarismos

 Apresentação de uma aproximação do número pela calculadora

 Erro de arredondamento

 Truncamento

 Associação ao método de aproximação empregado para o cálculo de uma função

exata, a partir do uso de fórmulas aproximadas

 Ex: Cálculo do valor de ex e partir da série

 Impossibilidade de determinação do valor exato da função

 Erros de Truncamento e Arredondamento - Demonstração

 Em um sistema que opera em ponto flutuante de t dígitos na base 10, e seja x:

 x = fxx10e + gxx10e-t (0,1 fx  1 e 0,1 gx 1)

 Para t = 4 e x = 234,57, então:

 x = 0,2345 x 103 + 0,7 x 10-1

 fx = 0,2345

 gx = 0,7

 No truncamento, gxx10e-t é desprezado e

visto que  gx <1

pois 0,1 é o menor valor possível para fx

0

b 0,373 5 10

1

0,373

ER    

...

4!

x

3!

x

2!

x

e 1 x

2 3 4

x      

e

x x  f 10 e t e t

x x EA x x g 10 10       

t 1

e

e t

e

x

e t

x x

x 10

0,1 10

10

f 10

EA g 10

ER  

 











 

x

 Erros de Truncamento e Arredondamento

 Sistema operando em ponto flutuante - Base 10

 Erro de Truncamento

e

 Erro de Arredondamento

E

e - nº de dígitos inteiros

t - nº de dígitos

 Sistema de aritmética de ponto flutuante de 4 dígitos, precisão dupla

Ex. 09: Seja x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x 102. Calcular x + y

 Alinhamento dos pontos decimais antes da soma

x = 0,937 x 104 e y = 0,001272 x 104,

x+y = 0,938272 x 104

 Resultado com 4 dígitos

Arredondamento : x+y = 0,9383 x 104

Truncamento: x+y = 0,9382 x 104

Ex: Seja x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x 102. Calcular x.y.

x.y = (0,937 x 104) x (0,1272 x 102)

x.y = (0,937 x 0,1272) x 106

x.y = 0,1191864 x 106

 Resultado com 4 dígitos

Arredondamento: x.y = 0,1192 x106

Truncamento: x.y = 0,1191 x106

 Considerações

 Ainda que as parcelas ou fatores de uma operação possam ser representados

exatamente no sistema, não se pode esperar que o resultado armazenado seja

exato.

e t

x EA 10   t 1

x ER 10   

e t

x 10

2

1

EA    t 1

x 10

2

1

ER    

 x e y tinham representação exata, mas os resultados x+y e x.y tiveram representação aproximada.

 Propagação dos Erros:

 Durante as operações aritméticas de um método, os erros dos operandos produzem um erro no resultado da operação

 Propagação ao longo do processo

 Determinação do erro no resultado final obtido

 Ex: Suponha-se que as operações a seguir sejam processadas em uma máquina com 4 dígitos significativos e fazendo-se: x1 = 0,3491x104 e x2 = 0,2345x100, tem-se:

 (x2 + x1) − x1 =

 = (0,2345x100 + 0,3491x104) − 0,3491x104

 = 0,3491x104 − 0,3491x104 = 0,0000

 x2 + (x1 − x1) =

 = 0,2345x100 + (0,3491x104 − 0,3491x104)

 = 0,2345 + 0,0000 = 0,2345

 Os dois resultados são diferentes, quando não deveriam ser, pois a adição é uma operação distributiva.

(x2 + x1) − x1 = 0,0000 e

x2 + (x1 − x1) = 0,2345

 Causa da diferença  arredondamento feito na adição (x2 + x1), cujo resultado tem 8 dígitos

 A máquina só armazena 4 dígitos (desprezando os menos significativos)

 Resolução numérica de um problema

 Importância do conhecimento dos efeitos da propagação de erros

 Determinação do erro final de uma operação numérica

 Conhecimento da sensibilidade de um determinado problema ou método numérico

 Ex: Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1, calcular a + b

 Variação de a  47 a 53

 Variação de b  20 a 22

 Menor valor da soma  47 + 20 = 67

 Maior valor da soma  53 + 22 = 75

 a + b = (50 + 21) ± 4 = 71 ± 4  67 a 75

 Ex: Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1, calcular a – b

 Variação de a  47 a 53

 Variação de b  20 a 22

 Menor valor da diferença  47 - 22 = 25

 Maior valor da diferença  53 - 20 = 33

 a – b = (50 – 21) ± 4 = 29 ± 4  25 a 33

 Na subtração, os erros absolutos se somam, pois sempre se admite o pior caso; nunca se subtraem erros, contando com a sorte; prevê-se, sempre, o caso mais desfavorável.

Ex: Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1, calcular a . b

 Variação de a  47 a 53

 Variação de b  20 a 22

 Menor valor do produto  47 . 20 = 940

 Maior valor do produto  53 . 22 = 1166

Dados a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1, calcular a . B

a . b = (50 ± 3) x (21 ± 1)

 1050 ± (3 x 21 + 50 x 1)

 1050 ± 113  937 a 1163

 Despreza-se o produto 3 x 1, por ser muito pequeno diante de (3 x 21 + 50 x 1 ) = 113

 Ligeiramente diferente do verdadeiro intervalo, exatamente pelo abandono do produto 1 x 3, considerado desprezível

 Análise dos Erros Absoluto e Relativo:

 Fórmulas para os erros nas operações aritméticas

 Erros presentes nas parcelas ou fatores e no resultado da operação

 Supondo um erro final arredondado, sendo x e y, tais que:

 Adição

 Erro Relativo

 Subtração

Erro Relativo

 Multiplicação

 Erro Relativo

 Divisão

Erro Relativo

x y x  x  EA y  y  EA

 





 







  





 







  x y

y

ER

x y

x

ER ER x y x y

x.y x y ER  ER  ER

x/y x y ER  ER ER

t 1

x y z 10

x y z

x y

ER  

    





 





 





...