Trabalho de Elementos II - Matematica
Por: Carol Felício • 10/7/2017 • Trabalho acadêmico • 1.357 Palavras (6 Páginas) • 298 Visualizações
- Forum I - Elementos II - Carol da Silva Felício
a) Xn + 1 = Xn + 2n , com X1 = 1
SOLUÇÃO:
Observe que:
X2 = X1 + 21
X3 = X2 + 22
X4 = X3 = 23
... ...
Xn = Xn - 1 + 2n - 1
A sequência recursiva:
X2 = 1 + 21 = 1 + 2 = 3
X3 = 3 + 22 = 3 + 4 = 7
X4 = 7 + 23 = 7 + 8 = 15
... ... ...
Aplicando a soma e eliminando as parcelas que são iguais na igualdade, temos:
X2 = X1 + 21
X3 = X2 + 22
X4 = X3 + 23
... ...
Xn = Xn-1 + 2n-1
Xn = X1 + 21 + 22 + ... + 2n-1
Xn = 1 + 21 + 22 + ... + 2n-1
note que é uma P.G com n termos, onde a soma é dada pela fórmula:
Sn = a1. (qn - 1/q - 1, sendo a1 = 1 e q = 2
Logo, Xn = 1. (2n - 1/ 2 - 1) => Xn = 2n – 1
Fazendo o Teste:
X3 = 23 - 1 = 8 - 1 = 7
X4 = 24 - 1 = 16 - 1 = 15
(b) Xn + 1 = (n + 1). Xn + n , com X1 = 1
SOLUÇÂO:
Esta recorrência possui os seguintes valores:
X2 = 2. X1 + 1 = 2. 1 + 1 = 3
X3 = 3. X2 + 2 = 3. 3 + 2 = 11
X4 = 4.X3 + 3 = 4.11 + 3 = 47
... ...
I) – Encontrar uma solução para an , Para a parte homogênea ( xn + 1 = (n + 1) .xn ) e fazer Xn = an Yn.
An + 1 = (n + 1) . an
a2 = 2a1
a3 = 3a2
a4 = 4a3
...
an = nan – 1
Como é diferente de zero podemos cortar os termos iguais na igualdade:
a2= 2a1
a3= 3a2
a4= 4a3
...
an = nan – 1
an = ( 2.3.4.5... .n).a1
an = n! . a1 , fazendo a1 = 1 => Xn = an . Yn => Xn = n!Yn
II) – Substituindo a solução encontrada na equação original, tem-se:
Xn + 1 = (n + 1) . Xn + n
(n + 1)! Yn + 1 = (n + 1) . n!yn +n => dividindo tudo por ( n+ 1)!
Yn +1 = yn + n/(n + 1)!
III) – Encontrar solução, Yn , para a recorrência em Y
Yn +1 = Yn + n/(n + 1)!
Y2 = Y1 + 1/(1 + 1)! = Y1 + 1/2!
Y3 = Y2 + 2/(2 + 1)! = Y2 + 2/3!
... ... ... ...
Yn = Yn – 1 + (n-1)/(n-1+1)! = Yn-1 + (n-1)/n!
Somando e eliminando as parcelas iguais, temos:
...