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Integrais[editar]

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O Cálculo Integral é o estudo das definições, propriedades, e aplicações de dois conceitos relacionados, as integrais indefinidas e as integrais definidas. O processo de encontrar o valor de uma integral é chamado integração. Em linguagem técnica, o calculo integral estuda dois operadores lineares relacionados.

A integral indefinida é a antiderivada, o processo inverso da derivada. F é uma integral indefinida de f quando f é uma derivada de F. (O uso de letras maiúsculas e minúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo.)

A integral definida insere uma função e extrai um número, o qual fornece a área entre o gráfico da função e o eixo do x. A definição técnica da integral definida é o limite da soma das áreas dos retângulos, chamada Soma de Riemann.

Um exemplo motivacional é a distância (D) viajada em um determinado tempo (t).

\mathrm{D} = \mathrm{V} \cdot \mathrm{t}

Se a velocidade (V) é constante, somente multiplicação é necessária, mas se a velocidade varia, então precisamos de um método mais poderoso para encontrar a distância. Um método é a aproximação da distância viajada pela divisão do tempo em muito mais intervalos de tempo, e então multiplicando o tempo em cada intervalo por uma das velocidades naquele intervalo, e então fazer uma Soma de Riemann das distâncias aproximadas viajadas em cada intervalo. A ideia básica é que se somente um pequeno tempo passar, então a velocidade vai permanecer praticamente a mesma. Entretanto, uma Soma de Riemann somente da uma aproximação da distância viajada. Nós precisamos pegar o limite de todas as Somas de Riemann para encontrar a distância viajada exata.

Integração pode ser explicada como a medida da área entre uma curva, definida por f(x), entre dois pontos (aqui a e b).

Se f(x) no diagrama da esquerda representa a velocidade variando de acordo com o tempo, a distância viajada entre os tempos representados por a e b é a área da região escura s.

Para aproximar a área, um método intuitivo seria dividir em distâncias entre a e b em um número de segmentos iguais, a distância de cada segmento representado pelo símbolo ?x. Para cada segmento menor, nós podemos escolher um valor da função f(x). Chame o valor h. Então a área do retângulo com a base ?x e altura h dá a distância (tempo ?x multiplicado pela velocidade h) viajado naquele segmento. Associado com cada segmento é o valor médio da função sobre ela,f(x)=h. A soma de todos os retângulos dados é uma aproximação da área entre o eixo e a curva, o qual é uma aproximação da distância total viajada. Um valor menor para ?x nos dará mais retângulos e, na maioria dos casos uma melhor aproximação, mas para uma resposta exata nós precisamos fazer o limite em ?x tender a zero.

O símbolo da integração é \int_{\,}^{\,}, um S alongado (que significa "soma"). A integral definida é escrita da forma:

\int_a^b f(x)\, dx

e lida como "a integral de a até b de f-de-x em relação a x."

A integral indefinida, ou antiderivada, é escrita da forma:

\int f(x)\, dx.

Desde que a derivada da função y = x² + C é y ' = 2x (onde C é qualquer constante), então:

\int 2x\, dx = x^2 + C.

Conceitos básicos[editar]

Função, domínio e imagem[editar]

Seja um conjunto de pontos A, cujos membros são os números em \R \Rightarrow \{-\infty,\dots,x_1, x_2, x_3,\dots,+\infty\}, então tomamos x e denominamo-la variável independente, visto que, arbitrariamente, lhe podemos atribuir qualquer valor em \R e portanto dizemos que:

A é o domínio da variável x. 2

Da mesma forma, admitamos um conjunto de pontos B, cujos membros são números que são obtidos única e exclusivamente por um conjunto de regras matemáticas f, quando números arbitrários em A lhe são transferidos; visto que há um único valor assumido para cada valor arbitrário transferido a f, dizemos que:

B é função de A.

Sendo B obtido através das regras de f:

A é domínio da função f.

Da mesma forma, como B é restrito aos valores definidos por A e às regras definidas por f, os seus elementos espelham estas condições, portanto, podemos dizer que:

B é imagem da função f.

Extensões de domínios[editar]

Observemos a expressão: \sqrt{12-x} Note que assim que atribuirmos valores a x, a mesma assumirá valores inválidos, valores de raízes quadradas de números negativos, para sanar este problema, poderemos atribuir uma faixa de valores válidos para o domínio de x, então teremos:

\sqrt{12-x}, x \le 12

Assim, teremos um domínio restrito a valores iguais ou menores que 12, portanto, incluindo-o, este extremo ao qual pertence o valor 12 chamamos de extremo fechado.

Temos uma situação semelhante, porém com uma sutil diferença, quando temos que fazer: \log{x}, neste caso, temos que restringir o valor 0 e todos os números abaixo dele, desta forma:

\log{x}, x > 0

Poderemos atribuir apenas valores maiores que 0, uma vez que este valor não pertence ao conjunto de números que podem ser atribuídos à variável, chamamos este de extremo aberto.

Notações[editar]

O conjunto de números B \{-\infty,\dots,y_1, y_2, y_3,\dots,+\infty\} dos quais y_n dependem do conjunto A \{-\infty,\dots,x_1, x_2, x_3,\dots,\infty\} de onde temos x_n, estabelecemos o par de números \{x_n , y_n\}, ou simplesmente:

(x, y)

Este é chamado de par ordenado.

Sendo também f a representação dos valores de (x, y), então podemos dizer que:

y=f(x)