Função composta

1. Função composta

Pode ser entendida pela determinação de uma terceira função C, formada pela junção das funções A e B. Matematicamente falando, temos que f: A → B e g: B → C, denomina a formação da função composta de g com f, h: A → C. Dizemos função g composta com a função f, representada por g o f.

Exemplo 1:

Ao considerarmos as funções f(x) = 4x e g(x) = x² + 5, determinaremos:

a) g o f

(g o f)(x) = g(f(x))

g(x) = x² + 5

g(4x) = (4x)² + 5

g(4x) = 16x² + 5

(g o f)(x) = g(f(x)) = 16x² + 5

Exemplo 2:

f(x) = 2x – 1, g(x) = x – 1, determine g(f(1)).

Neste exercício de função composta acima devemos determinar o g o f, ou em outras palavras, determinar a função composta de f: 1. Para isso vamos fazer o seguinte.

Solução:

g o f(1) = g(f(1))

Sei que f(x) = 2x – 1, sei também que está definido g(f(1)), então, se eu substituir o x na função f(x) = 2x – 1 terei: f(1) = 2.1 – 1 → f(1) = 1. Tenho f(1) = 1. Ora, sabemos que g(x) = x – 1, e temos também que g(1) pois sei que f(1) é 1, então basta substituir o x por 1. temos então:

g(x) = x – 1 → g(1) = 1 – 1 → g(1) = 0

Exercício:

Determinar g(f(x)) e f(g(x)), em relação às funções f(x) = x + 2 e g(x) = 4x² – 1.

(g o f)(x) = g(f(x))

g(x) = 4x² – 1

g(x + 2) = 4 * (x + 2)² – 1

g(x + 2) = 4 * (x + 2) * (x + 2) – 1

g(x + 2) = 4 * (x² + 2x + 2x + 4) – 1

g(x + 2) = 4 * (x² + 4x + 4) – 1

g(x + 2) = 4x² + 16x + 16 – 1

g(x + 2) = 4x² + 16x + 15

(g o f)(x) = g(f(x)) = 4x² + 16x + 15

(f o g)(x) = f(g(x))

f(x) = x + 2

f(4x² – 1) = (4x² – 1) + 2

f(4x² – 1) = 4x² – 1 + 2

f(4x² – 1) = 4x² + 1

(f o g)(x) = f(g(x)) = 4x² + 1

2. Função sobrejetora

Uma função é sobrejetora se o seu conjunto imagem for especificadamente igual ao contradomínio, Im = B. Por exemplo, se temos uma função f : Z→Z definida por y = x +1 ela é sobrejetora, pois Im = Z.

Exemplo 1:

Exemplo 2: Dado os conjuntos A = { -2, -1, 0, 1, 2} e B = {2, 3, 6} a função f = {(x,y) ∈ AXB/ y = x2 + 2} é sobrejetora; Pois Im(f) = B

Exercício:

01- A função f: R→B c R é definida por f(x) = x² - 6x + 5. Se essa função é sobrejetora, B pode ser indicado por:

a) ]-∞, 4[

b) [-5, 1[

c) R - [1, 5]

d) [0, 4]

e) [-4, +∞[

Resolução:

Para que a função seja sobrejetora, seu contradomínio deve ser a própria imagem da função, pois não podemos ter elementos no contradomínio que não sejam imagens de pelo menos um elemento do domínio. Dessa forma, basta encontrar a imagem da função f(x). Como essa função é quadrática, basta calcular a coordenada Y do vértice e observar a concavidade da parábola, como estudado na aula de função do 2º grau.

Yv = - (b² - 4ac)

4a

Yv = - ((-6)² - 4.1.5) / 4.1

Yv = -16 / 4

Yv = -4

Como a concavidade é voltada para cima, pois a>0, a função possui valores em y maiores que -4, logo, sua imagem que é o contradomínio B pode ser representado como [-4, +∞[

Gabarito Letra: E

3. Função injetora

Uma função é injetora se os elementos distintos do domínio tiverem imagens distintas. Por exemplo, dada a função f : A→B, tal que f(x) = 3x.

Exemplo 1:

Exemplo 2: Dado os conjuntos A = { -2, -1, 0, 1, 2} e B = {0, 1, 2, 3, 4,5 } a função de A em B definida por y = x + 2 é injetora; Todos os elementos de B, que possui correspondência com elementos de A tem um único correspondente.

Exercício:

01 - Classifique as funções em injetora, sobrejetora ou bijetora:

a) f: R→R / f(x) = x + 2

b) f: R→R / f(x) = x²

c) f: R+→R / f(x) = x²

Resolução:

a) Bijetora

De R→R toda função do 1º grau é bijetora.

b) Sem classificação

De R→R, qualquer função quadrática não será injetora nem sobrejetora, e consequentemente não pode ser bijetora.

c) Injetora

Cuidado, neste caso, o domínio são os reais positivos, assim não teremos dois domínios resultando a mesma imagem, e sim cada domínio terá uma imagem diferente. Por fim, abaixo do eixo y, não temos nenhum ponto, tudo isso determina a função como injetora nesta definição.

4. Função bijetora

Uma função é bijetora se ela é injetora e sobrejetora. Por exemplo, a função f: A→B, tal que f(x) = 5x + 4.

Exemplo 1: