Matematica Financeira

MATEMÁTICA FINANCEIRA

Aula 1

NOÇÕES BÁSICAS

Conceito: a MATEMÁTICA FINANCEIRA tem por objetivo estudar as diversas formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas para aplicação / obtenção de recursos financeiros.

Problemas Sobre Porcentagem

Os descontos concedidos nas compras e pagamentos, bem como o confronto entre um conjunto de unidades e conjunto maior de unidades da mesma espécie, é comumente feito em relação ao fator 100 sob o nome de tanto porcento. O valor calculado em cada grupo de 100 unidades recebe o nome de taxa centesimal.

Elementos: i = taxa

C = capital

P = tanto porcento

P = c x i / 100

C = 100 x p / i

i = 100 x p / c

Exemplos:

1) Calcular 5% de R$720,00.

2) Em um negócio de R$ 48.000,00 perdeu-se uma importância de R$2400,00. Determinar a taxa percentual da perda.

3) Em um negócio de R$ 3.000,00 ganhou-se uma importância de R$ 300,00

Determinar a taxa percentual do ganho.

4) Dos 1.200 operários de uma fábrica “A”, 324 são mulheres. Quanto porcento são homens?

5) Sobre uma compra de R$ 68.000,00 concede-se um abatimento de R$ 3.400,00.

Qual é a taxa de abatimento?

Aula 2

Abatimentos Sucessivos

Quando uma mercadoria sofre vários abatimentos cada um deles calculado sobre o líquido anterior diz-se que ela sofreu abatimentos sucessivos.

Assim o líquido depois de cada abatimento passa a ser o principal do abatimento posterior.

O líquido para um abatimento é igual ao principal menos a parte correspondente a porcentagem.

C = capital, principal

i = taxa

L = líquido

Fórmula:

L1 = C – C . i1

L2 = L1 – L1 . i2

L2 = L1. (1-i2)

L2 = C . (1- i1) . (1- i2)

Ln = C .(1-i1).(1-i2)...(1-in)

Exemplo:

1)Uma mercadoria de R$500,00 sofreu abatimentos sucessivos de 5%, 8% e 7%. Calcular o

líquido.

Taxa Única Abatimentos Sucessivos

L n = C.(1-i -)

i_= 1-[(1-i1).(1-i2)...(1-in)]

considerando o exemplo anterior, calcular a taxa única:

Acréscimos Sucessivos

Quando uma mercadoria sofre diversos acréscimos, cada um deles calculado sobre o bruto anterior, diz-se que ela sofreu acréscimos sucessivos.

Assim o bruto depois cada acréscimo passa a ser o principal do acréscimo seguinte.

O bruto de cada acréscimo é igual ao principal mais parte desse principal, correspondente a porcentagem.

B1 = C + Ci

B1 = C + (1 + i1)

B2 = B1+ B1 . i2

B2 = B1.(1 + i2)

B2 = C.(1 + i1).(1 + i2)

Bn = C.(1+i1).(1+i2)...(1+in)

Exemplo:

1) Uma mercadoria com preço de custo igual a R$ 1.000,00 sofreu os acréscimos sucessivos de 25%, 15% e 10%. Calcular o bruto final.

Taxa Única Acréscimos Sucessivos

Bn = C.(1+ i + )

i+= -1+[(1+i1).(1+i2)...(1+in)]

considerando o exemplo anterior, calcular a taxa única:

Aula 3

Operações sobre mercadorias

Custo como principal

Lucro

V = C.(1+ic) V>C

Prejuízo

V = C.(1- ic) V<C

Venda como principal

Prejuízo

C = V.(1+iv) V<C

Lucro

C = V.(1- iv) V>C

Onde:

C = preço de custo

V = preço de venda

ic = taxa sobre o preço de custo

iv = taxa sobre o preço de venda

Exemplos:

1) Vendi um objeto por R$ 642,00 lucrando 7% sobre o custo. Quanto custou o objeto?

2) Vendi um carro por R$ 25.000,00 lucrando 3% sobre a venda. Quanto custou o carro?

3) Comprei uma coleção de livros de R$250,00. Por quanto devo vender para lucrar 50%

a) Sobre a venda

b) Sobre o custo

4) Vendi um carro por R$ 17.000,00 com um prejuízo de 15% sobre o preço de custo. Por quanto comprei?

5) Paguei R$3.000,00 pela compra de certos objetos que revendi com um lucro de 25% sobre a venda. Quanto recebi?

Aula 4

Juros Simples

Juro é a remuneração do capital empregado. Se aplicarmos um capital durante um determinado período de tempo, ao fim do prazo se transformará em um valor (montante) que será igual ao capital aplicado acrescida da remuneração obtida durante o período de aplicação.

Juros  é o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um valor em dinheiro durante um certo tempo; é o rendimento em dinheiro, proporcionado pela utilização de uma quantia monetária, por um certo período de tempo.

Taxa de Juros  é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente emprestado.

Capital  é qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em determinada época. Referido montante de dinheiro também é denominado de capital inicial ou principal.

Montante  denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos).

Remuneração do Capital

A diferença entre o montante “M” e a aplicação “C” denomina-se remuneração, rendimento ou juros ganhos.

J = M – C

Os juros ganhos em uma aplicação financeira é dado por:

Taxa de juros vezes o principal vezes o tempo de aplicação.

J = C.i.n

M = montante

J = juros

C = capital

i = taxa

n = tempo

Portanto, M – C = C.i.n

M = C + C.i.n

M = C.(1+i.n)

Juro Bancário, Exato e Ordinário

Bancário

O juro simples bancário é calculado de acordo com a seguinte convenção:

O ano é considerado com 360 dias e a contagem dos dias é corrida.

Exato

Neste caso, para o cálculo do juro, deve-se considerar o ano civil não bissexto com 365 dias ou o ano civil bissexto com 366 dias, e a contagem dos dias é corrida.

Ordinário ou Comercial

Para o cálculo deste juro a contagem do número de dias é feita considerando o ano comercial que por convenção tem 360 dias e cada mês 30 dias.

Exemplos:

1) Qual rendimento de R$10.000,00 aplicado por um mês a taxa simples de 36% a.a.

2) Calcular o rendimento de R$ 23.000,00 aplicado por 14 dias a taxa simples de 2,5% a.m.

3) Em 7 meses R$18.000,00 renderam R$4.000,00 de juros. Qual é a taxa anual simples ganha?

4) Um capital de R$5.000,00 rendeu R$1.200,00 em 180 dias. Qual é a taxa simples

anual ganha?

5) Mesmo enunciado (4). Em vez de taxa anual pede-se taxa mensal.

6) Um capital aplicado por 4 meses e 18 dias a juros simples de 12% a.m. transformou-se em R$23.000,00. Calcular os juros ganhos na aplicação.

7) Um título foi resgatado por R$ 3.000,00. Se a taxa de juros simples aplicada foi de 180% a.a.e os juros ganhos totalizaram R$ 1.636,36. Quantos meses durou a aplicação?

AULA 5

Capitalização e Desconto a Juros Simples

Cálculo do Montante e do Principal

O montante ou valor de resgate de uma aplicação é o capital inicialmente investido (principal) acrescido de sua remuneração no período (juros ganhos).

O cálculo do principal a partir do montante é simplesmente o processo inverso.

C = M / (1+ i.n) *obs: chamaremos mais tarde de valor atual

descontado racionalmente.

No cálculo financeiro o diagrama de fluxo de caixa serve para mostrar graficamente as transações financeiras em um período de tempo.

M = C(1+i.n)

0 1 2 ................................. n

C = M / (1+i.n)

Equivalência de Capitais a Juros Simples

Dizemos que dois capitais são equivalentes quando têm o mesmo valor em uma determinada data de avaliação (data focal).

Exemplos:

1) O diagrama de fluxo a seguir que ilustra a equivalência (na data focal 2) a juro simples de 10% de dois capitais, o primeiro no valor de R$ 3.636,35 que ocorre na data 1 e outro de R$5.600,00 na data 6.

2) Uma pessoa tem os seguintes compromissos a pagar: R$2.000,00 daqui a 3 meses, R$2.500,00 daqui a 8 meses. Ela quer trocar esses débitos por dois pagamentos iguais, um para 10 meses e outro para 15 meses. Calcular o valor desses pagamentos considerando uma taxa de juros simples de 10% a.m. sendo a renegociação hoje.

AULA 6

Desconto Simples

Quando um título de crédito (duplicata, nota promissória, letra de câmbio) é resgatado antes do seu vencimento, ele sofre um abatimento que é denominado desconto.

Um título possui um valor, chamado valor nominal, que corresponde ao seu valor no dia do seu vencimento. Antes disso, o título pode ser resgatado por um valor menor que o nominal sendo denominado valor atual ou valor presente.

Chama-se desconto simples o calculado sobre um único valor do título (nominal ou atual). Se for calculado sobre o valor nominal é chamado desconto comercial ou “por fora” e se for calculado sobre o valor atual é chamado de desconto racional ou “por dentro”.

Desconto Comercial ou Por Fora

O desconto comercial equivale ao juro simples onde o capital corresponde ao valor nominal do título

d = N.i.n

Exemplo:

Uma duplicata de valor nominal equivalente a R$200,00 foi resgatada 3 meses antes do vencimento a taxa de 9% a.a.. Qual o desconto?

Valor Atual ou Valor Presente

o Valor Atual (ou presente) de um título é aquele efetivamente pago (recebido) por este título, na data de seu resgate, ou seja, o valor atual de um título é igual ao valor nominal menos o desconto. O Valor Atual é obtido pela diferença entre seu valor nominal e o desconto comercial aplicado.

A = N – d

A = N – N.i.n

A = N.(1 – i.n)

Exemplo:

Qual o valor atual de uma duplicata de valor nominal equivalente a R$120,75 a taxa de 6% a.a. 4 meses antes do vencimento ?

Desconto Racional ou por Dentro

O desconto racional equivale ao juro simples calculado sobre o valor atual do título. Denominando por d’ o desconto racional temos:

d`= A.i.n A = N – d’

d` = ( N – d’).i.n

d` = N.i.n – d’.i.n

d` + d’.i.n = N.i.n

d`.(1 + i.n) = N.i.n

d` = N.i.n / (1 + i.n)

Exemplo:

Determinar o desconto racional de um título de valor nominal equivalente a R$135,00 pago 2 meses antes do vencimento a 1% a.m..

Valor Atual (Racional)

A = N – d’

A = N – N.i.n / (1 + i.n)

A = [N.(1 + i.n) – N.i.n] / (1+ i.n)

A = (N + N.i.n – N.i.n) / (1 + i.n)

A = N / (1 + i.n)

Exemplos:

1) Considerando o exemplo anterior, calcule o valor atual.

2) Um título de valor nominal equivalente a R$70,40 com vencimento para 5 meses substituiu outro de valor nominal equivalente a R$66,00 vencível em 2 meses. Qual a taxa mensal dessa transação sabendo-se que a negociação foi feita hoje?

AULA 7

Juros compostos

Conceito: Juros compostos, acumulados ou capitalizados são os que no fim de cada período são somados ao capital constituído no início para produzirem novos juros no período seguinte.

Seja por exemplo um capital de R$100,00 colocado a 20% a.a. durante 4 anos.

Comparando os juros compostos com juros simples verifica-se que o primeiro cresce em progressão geométrica enquanto os juros simples são constantes em todos os períodos, pois são calculados sempre sobre o capital inicial.

Anos 0 1 2 3 4

Montante a juros simples

100

120

140

160

180

Montante a juros compostos

100

120

144

172,80

207,36

Cálculo do Montante

Suponhamos que um capital C vai ser aplicado a juros compostos a uma taxa i. No fim do 1º período o juro produzido será:

J1 = C.i.n sendo n = 1 e o montante : M1 = C + J1

M1 = C + C.i

M1 = C.(1 + i)

No fim do segundo período o juro será:

J2 = M1.i.n sendo n = 1 e o montante: M2 = M1 + J2

M2 = M1 + M1.i

M2 = M1.(1 + i)

M2 = C.(1 +i).(1 + i)

M2 = C.(1 + i)2

No fim do terceiro período o juro será:

J3 = M2.i.n sendo n = 1 e o montante: M3 = M2 + J3

M3 = M2 + M2.i

M3 = M2.(1 + i)

M3 = C.(1 +i)2.(1 + i)

M3 = C.(1 + i)3

Generalizando:

Mn = C.(1 +i)n

Exemplos:

1) Calcular o montante do capital de R$10.000,00 a juros compostos de 10% a.a. em 3

anos.

2) Qual o capital que em 6 anos, a taxa de juros compostos de 15% a.a., monta

R$14.000,00?

3) Em que prazo um empréstimo de R$55.000,00 pode ser quitado por meio de um

único pagamento de R$110.624,80 se a taxa de juros compostos for de 15% a.m..

AULA 8

Capitalização e Desconto a Juros Compostos

Como vimos M = C (1+i)n onde (1+i)n é chama do fator de capitalização ou fator de valor futuro para aplicação única.

O cálculo do valor presente de um montante ou pagamento único é simplesmente o inverso do cálculo do montante:

C = M (1+i) –n onde (1+i) –n é conhecido como fator presente, fator de desconto ou ainda fator de descapitalização para pagamento único.

(1+i) –n

0 n

(1+i)n

Exemplos

1) Uma pessoa depositou R$2.000,00 em uma poupança. Dois meses depois deposita mais R$2.500,00 e 2 meses depois desse último depósito realiza uma retirada de R$1.300,00. Qual será o saldo da poupança ao fim do 5º mês. Considerando que a taxa de juros compostos ganha é de 15% a.m.

2) A que taxa de juros um capital de R$ 2.000,00 obtém um rendimento de R$280,00 em

2 meses.

3) Determinar o capital que aplicado por 7 meses a juros de 4% a.m. rende R$10.000,00.

4) A taxa de 5% a.m., em que prazo R$5.000,00 rende juros de R$17.000,48?

AULA 9

TAXAS PROPORCIONAIS

 Na formação do montante, os juros podem ser capitalizados mensalmente, trimestralmente, semestralmente e assim por diante, sendo que, via de regra, quando se refere a período de capitalização, a taxa de juros é anual. Assim, pode-se falar em:

• juros de 30 % a.a., capitalizados semestralmente;

• juros de 20 % a.a., capitalizados trimestralmente;

• juros de 12 % a.a., capitalizados mensalmente;

 Quando a taxa for anual, capitalizada em períodos menores, o cálculo de ( 1 + i ) n é feito com a TAXA PROPORCIONAL. Dessa forma:

• Para 30 % a.a., capitalizados semestralmente, a taxa semestral proporcional é 15% a.s.

1 ano = 2 semestres  30 % a.a. = 2 x 15 % a.s.

• Para 20 % a.a., capitalizadas trimestralmente, a taxa trimestral proporcional é 5 % a.t.

1 ano = 4 trimestres  20 % a.a. = 4 x 5 % a.t.

• Para 12 % a.a., capitalizados mensalmente, a taxa mensal proporcional é 1 % a.m.

1 ano = 12 meses  12 % a.a. = 12 x 1 % a.m.

TAXAS EQUIVALENTES

 São taxas diferentes entre si, expressas em períodos de tempo diferentes, mas que levam um capital a um mesmo resultado final ao término de um determinado período de tempo.

Duas taxas são EQUIVALENTES quando, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que o capital produza o mesmo montante, num mesmo intervalo de tempo.

(1+i1)n1 = (1+i2)n2

exemplos:

1) 12% a .a é equivalente a quanto porcento a.sem. ?

2) 1% a .m é equivalente a quanto porcento a .sem. ?

AULA 10

TAXAS NOMINAL e EFETIVA

Quando uma taxa anual é paga em parcelas proporcionais os juros obtidos no fim do primeiro ano são maiores do que a taxa oferecida.

Seja por exemplo, se um capital de R$ 100,00 for colocado a 20% a.a. capitalizado semestralmente por 1 ano, temos:

100 110 121

0 1 ano i = 20% a.a. taxa nominal

i = 21% a.a. taxa efetiva

21% a.a. é equivalente a 10% a.sem.

proporcional

20% a.a. 10% a.sem.

nominal

equivalente

efetiva 21% a.a.

exemplo:

1) A caderneta de poupança paga juros de 6% a.a. com capitalização mensal. Qual a taxa efetiva dos juros?

AULA 11

Desconto Composto

Desconto composto equivale à soma de descontos simples calculados isoladamente em cada um dos períodos que faltam para o vencimento do título. Pode ser Real ou Bancário.

Desconto Composto Real

A = N

( 1 + i )n

Onde: N é o valor nominal

A é o valor atual

Exemplo:

1) Um título de valor nominal igual a R$ 800,00 foi resgatado dois anos e meio antes do vencimento a 22% a.a. capitalizados trimestralmente. Qual o valor atual do título ? Qual o desconto concedido ?

AULA 12

Desconto Composto Bancário

Considere um título de valor nominal de R$ 1000,00 que vai ser resgatado 4 anos antes do vencimento à taxa de 10% a.a.. Calculando o desconto comercial em cada ano temos:

656,10 729 810 900 1.000

0 1 2 3 4

d=72,9 d=81 d=90 d=100

Cálculo do Desconto Composto Bancário, dedução da fórmula

A1 = N – d1  d1 = N . i . n

A1 = N – N . i . n p/ n = 1

A1 = N (1 – i )

A1 = 1000 (1 – 0,1)

A1 = 900

A2 = A1 – d2  d2 = N . i . n

A2 = A1 – A1. i

A2 = N (1 – i ) . (1 – i)

A2 = N (1 –i)2

GENERALIZANDO

Exemplo:

Um título de valor nominal igual a R$ 800,00 foi resgatado dois anos e meio antes do vencimento a 22% a.a. capitalizados trimestralmente. Qual o valor atua do título? Qual o desconto concedido? ( desconto composto bancário)

AULA 13

Séries de Pagamentos

Conceito: é um conjunto de dois ou mais pagamentos realizáveis em épocas distintas, destinados a constituir um capital ou amortizar uma dívida.

Elementos: os pagamentos que podem ser prestações ou depósitos, constituem os termos (T) da série. Denomina-se (n) o número de termos (pagamentos) e (i) a taxa unitária dos juros. Se o objetivo da série for constituir capital, esse capital será o montante da série, se entretanto, seu objetivo for amortizar uma dívida o valor dessa dívida será o valor atual ( ou valor presente) da série.

Classificação: podem ser certas ou aleatórias. Séries de pagamentos certas são aquelas em que o número de termos, os vencimentos dos termos e seus respectivos valores podem ser previamente fixados. Quando pelo menos um desses elementos não puder ser determinado com antecedência a série é aleatória.

Não periódica

Certa Temporária Periódica Variáveis Imediatas

Série Perpétua Constantes Antecipadas

Aleatória Diferidas

As séries certas são subdivididas em série temporárias e perpétuas, as temporárias em não periódicas e periódicas, as temporárias periódicas em variáveis e constantes e as temporárias periódicas constantes em imediatas (postecipadas), antecipadas e diferidas.

Séries temporárias são aquelas em que o número de termos é finito, isto é, a série tem um termo final. Quando o número de termos é infinito a série é denominada perpétua.

Séries periódicas são aquelas em que o intervalo de tempo entre dois pagamentos consecutivos é constante ( mensais, trimestrais, semestrais, etc...) caso contrário a série é não periódica.

Série constantes são aquelas quando todos os pagamentos são de mesmo valor. Se um dos pagamentos for de valor diferente dos demais a série é variável.

Quanto ao vencimento dos termos as séries são classificadas em: imediatas (postecipadas), antecipadas e diferidas.

Uma série é imediata ou postecipada quando os pagamentos ocorrem no fim de cada período.

0 1 2 3 n-1 n

T T T T T

Uma série é antecipada quando os pagamentos se realizam no início de cada período.

0 1 2 3 n-1 n

T T T T T

Uma série é diferida quando ocorre um período de carência. A série diferida equivale a uma série imediata que tem um prazo de carência entre o valor atual e o início dos pagamentos. 0 1

Carência

0 1 2 3 n-1 n

T T T

AULA 14

Série Imediata (Postecipada)

Valor Atual de uma Série Unitária Imediata

O valor atual ( ou valor presente) de uma série unitária imediata equivale ao valor de uma dívida (empréstimo, valor à vista de uma mercadoria) que será paga com prestações unitárias

O valor atual da série é igual à soma dos valores atuais de seus termos calculados com desconto composto real a determinada taxa.

0 1 2 3 n-1 n

1 1 1 1 1

 (1+i)-1, (1+i)-2, (1+i)-3,...., (1+i)-(n-1), (1+i)-n

O valor atual de uma série unitária imediata é representada pela expressão:

an┐i = (1+i)-n + (1+i)-(n-1) + ... + (1+i)-3 + (1+i)-2 + (1+i)-1, chamando (1+i) = u

an┐i = u-n + u-(n-1) + ... + u-3 + u-2 + u-1 progressão geométrica de razão u

an┐i = u-1. u – u-n

u -1

an┐i = 1 – u-n . un

u – 1 un

an┐i = un -1

(u-1) . un

an┐i = (1+i)n -1

(1 + i -1) . (1+i)n

an┐i = (1+i)n -1

i . (1+i)n FVA (fator do valor atual)

Valor atual de uma série postecipada ou imediata:

An┐i = T . an┐I

An┐i = T . (1+i)n -1

i . (1+i)n

Exemplos.

1) Qual o valor atual de uma série imediata de 10 termos mensais de R$ 1.000,00 à

taxa de 1% a.m.

2) Calcular o valor atual de uma série mensal de R$ 1.000,00 de 12 termos a 1% a.m.

3)Que dívida pode ser amortizada com 20 prestações semestrais de R$ 5.000,00 com juros de 20% a.a.?

4) Calcular o valor da prestação mensal para amortizar com 12 pagamentos um

empréstimo de R$ 60.000,00 com juros de 2% a.m.

5) Uma pessoa toma R$ 2.000,00 emprestados numa instituição financeira por 15

anos a 10% a.a. capitalizados mensalmente. Calcular a prestação mensal para

resgatar a dívida

6. Calcular a taxa de uma série mensal de R$ 1.000,00 de 12 termos que amortizará uma dívida de R$ 11.255,08.

# observação – a solução desta equação deve ser obtida por tentativa e erro. Mesmo as calculadoras financeiras que solucionam problemas com esses de forma simples e rápida utilizam esse processo. Ele consiste em atribuir valores sucessivos para a taxa i até que o resultado da expressão seja equivalente.

7. Comprei um automóvel financiado em 24 prestações de R$ 2.100,00 mensais. Sabendo-se que o valor do financiamento foi de R$ 40.000,00 qual a taxa mensal embutida nesta transação ?

AULA 15

Montante de uma Série Imediata (Postecipada)

- Série Unitária

O montante de uma série unitária imediata equivale a soma dos montantes dos depósitos unitários durante n períodos a uma taxa i.

O montante de cada termo (depósitos) da série é calculado pela fórmula dos juros compostos M = C. (1+i)n. Como os termos são unitários, C = 1, concluímos que o montante será M. (1+i)n

0 1 2 3 n-2 n-1 n

1 1 1 1 1 1

 1+ (1+i) 1 + (1+i)2+ (1+i)3+ ... + (1+i)(n-3) + (1+i)(n -2) +(1+i)(n -1)

sn┐i = 1+ (1+i) 1 + (1+i)2+ (1+i)3+ ... + (1+i)(n-3) + (1+i)(n -2) +(1+i)(n -1)

progressão geométrica de razão (1+i)

sn┐i = (1+i)(n-1). (1+i) – 1

1+i -1

sn┐i = (1+i)n -1  FAC ( Fator de Acumulação de Capital)

i

Montante de uma Série Imediata

Sn┐i = T . sn┐I

Sn┐i = T . (1+i)n -1

i

Exemplos.

1) Uma pessoa deposita em um banco no fim de cada semestre a importância de

R$1.000,00 à 20% a.a.. Quanto terá no fim de 4 anos ?

2) Quanto uma pessoa deve depositar em um banco no fim de cada trimestre a

20%a.a para no fim de 2 anos possuir R$ 10.000,00 ?

AULA 16

3) Quanto terá no final de 4 anos uma pessoa que aplicar R$ 500,00 por mês durante

este prazo em um fundo de renda fixa à taxa de 3% a.m. ?

4) Quanto uma pessoa terá que aplicar mensalmente num fundo de renda fixa durante 5 anos para que possa resgatar R$ 200.000,00 no final de 60 meses, sabendo que o fundo proporciona um rendimento de 2% a.m. ?

5)Quantas prestações de R$ 4.000,00 devo aplicar trimestralmente à taxa de 7% a.tri.

para acumular um montante de R$ 100.516,08 no final de certo prazo. Qual será

este prazo ?

AULA 17

Séries Antecipadas

Valor Atual de uma série Unitária Antecipada

1

0 1 2 3 n-2 n-1 n

1 1 1 1 1 1

 (1+i)-(n-1), (1+i)-(n-2), ... , (1+i)-3, (1+i)-2, (1+i)-1,1

progressão geométrica de razão (1+i)

A representação do valor atual de uma série unitária antecipada é:

_

an┐i = (1+i)-(n-1) + (1+i)-(n-2) + ... + (1+i)-3 + (1+i)-2 + (1+i)-1 +1

soma da PG : Sn = an . q - a1

q - 1

_

an┐i = 1. (1+i) - (1+i)-(n-1)

1 + i - 1

_

an┐i = (1+1) – (1+i)-(n-1) (1+i)n-1

i (1+i)n-1

_

an┐i = (1+i)n – 1 FVAa ( Fator de Valor Atual Antecipado)

i (1+i)n-1

Valor Atual de uma Série Antecipada

_ _

An┐i = T . an┐I

_

An┐i = T . (1+i)n -1

i . (1+i)n-1

Exemplos.

1) Calcular o valor atual de uma série mensal antecipada de 10 termos de R$ 1.000,00 à taxa de 2%a.m.

2) Uma mercadoria é vendida à prazo por 6 prestações mensais antecipadas de R$100,00 com juros de 1,5% a.m.. Qual o valor à vista desta mercadoria ?

3) Qual a prestação trimestral antecipada necessária para amortizar com 12 pagamentos um financiamento de R$ 10.000,00 com juros de 5% a.trim.

4) Uma dívida de R$ 1.000,00 deverá ser paga com 8 prestações mensais antecipadas de R$ 133,00. Qual a taxa de juros ?

5) Qual o valor do empréstimo que pode ser liquidado em 10 prestações mensais antecipadas à taxa de 3,5% a.m. sendo as 4 primeiras prestações de R$ 3.000,00 e as 6 últimas de R$ 4.500,00 ?

6) Um cliente deseja liquidar um empréstimo bancário em 10 prestações mensais antecipadas de valores alternados de R$ 1.000,00 e R$ 2.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 3,75% a.m. calcular o valor do empréstimo.