ATPS Cálculo III

Passo 1 - Fatos Históricos sobre o surgimento da Integral

Nas lavouras da Grécia antiga, os camponeses enfrentavam problemas matemáticos relacionados às Integrais chamados de QUADRATURAS que era a medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. A princípio, a medição era baseada em figuras geométricas simples como por exemplo, o quadrado porém, enfrentavam problemas ao medir áreas curvilíneas.

Os primeiros gregos à executarem as medições em áreas curvilíneas foram: Hipócrates de Chios, 440 a.C, Antifon por volta de430 a.C.

Dentre diversas teorias sobre medições de áreas, a que contribuiu mais significadamente na história dos cálculos, foi a teoria de Arquimedes para a quadratura da parábola.

Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base e além desta, contribui com outras teorias importantes a respeito de medições em áreas não quadriláteras.

A contribuição seguinte para o Cálculo Integral apareceu somente ao final do século XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade. Em 1606, em Roma, Luca Valerio publicou De quadratura parabolae onde utilizou o mesmo método grego para resolver problemas de cálculo de áreas desse tipo.

Posteriormente, outros matemáticos como Kepler, Euler, Newton, Cauchy,Gauss e Riemann, Fermat e Cavalieri, que foi a fórmula matemática mais próxima da que usamos hoje. Quem enfim, definiu de maneira teórica e prática a integral que conhecemos hoje foi Leibniz que definia a Integral como a área de uma figura pela soma – daí o símbolo que representa um “s” de “summa” - das áreas de todos os retângulos infinitesimais definidos pelas ordenadas e pelas diferenças entre as abscissas... e portanto e representada no cálculo a área da figura por ".

E por fim, Euler, reuniu todo o conhecimento até então desenvolvido e criou os fundamentos da Análise.

Utilização da Teoria

O cálculo integral é usado para resolver vários tipos de problemas q existem no nosso cotidiano.

A integral simples serve para vc calcular a área de uma curva no plano X,Y. Muito utilizado na física.

A integral dupla serve para vc calcular a área e o volume de um objeto em 3 dimensoes.

A integral tripla serve para vc calcular o volume tbm.

Os objetos q nos circundam nao sao exatamente perfeitos, no entando, a integral ajuda a estabelecer um modo no qual vc conheça esse objeto, calculando o seu volume e sua área.

Conceito de Integrais

Integral Definida – Integral Definida se aplica quando temos uma grandeza e sabemos a taxa de variação desta grandeza. Esta integral é representada como:

Integral definida de F, de “a” até “b”.

Integral Indefinida – Integral indefinida se aplica quando temos uma grandeza mas não sabemos sua taxa de variação. É representada como:

Passo 2 - Desafio A:

Cálculo:

∫▒(a^3/3+ 3/a^3 +3/a) da

=∫▒a^3/3 + ∫▒3/a^3 + ∫▒3/a

=∫▒a^3/3 + ∫▒3/a^3 + ∫▒3/a

= a^4/12 - 3/〖2a〗^2 + 3ln|a| + C  Alternativa B

Desafio B:

C’ (q) = 1000+50q

C (0) = 10000

=∫▒〖1000+50q = ∫▒〖1000+ ∫▒50q〗〗

=1000q + 50q + C = 1000q +25 + C

=10000 + 1000q + 25

A alternativa correta correspondente ao desafio B é a ( a )

Desafio C:

∫▒〖〖16,1.e〗^0,07e dt=16,1 ∫▒〖e^0,07t dt〗〗

u = 0,07t du = 0,07dt du/0,07=dt

16,1∫▒e^u du/0,07=16,1/0,07 ∫▒〖e^u du〗

〖= 230.e〗^u+C=230e^0,07t+C

〖=∫_2^4▒230 e〗^0,07t+C

= 〖230e〗^((0,07u) )-〖230e〗^((0,07X2) )=304.319-264.562=39,76

A alternativa correta correspondente ao desafio C é a ( c )

Desafio D:

A área sob a curva y=〖ex〗^2 de x=-3 a x=2 é dada por:

∫▒█(e^(x/2) dx u=x/2 du=1/2x@∫▒〖e^(x/2) dx= ∫▒〖e^u 2xdx〗〗)

∫▒〖e^u 2du=2∫▒〖e^u du=2e^u+C〗〗

∫_2^3▒〖2e^(x/2) 〗+C= 〖2e〗^(2/2)- 〖2e〗^(8/2)=5,436-0,446=4,99

A alternativa correta correspondente ao desafio D é a ( a )

Passo 3

Para o desafio A, alternativa B = NÚMERO 3

Para o desafio B, alternativa A = NÚMERO 0

Para o desafio C, alternativa C = NÚMERO 1

Para o desafio D, alternativa A = NÚMERO 9

RELATÓRIO

Passo 2 - Desafio A:

Cálculo:

∫▒(a^3/3+ 3/a^3 +3/a) da

=∫▒a^3/3 + ∫▒3/a^3 + ∫▒3/a

=∫▒a^3/3 + ∫▒3/a^3 + ∫▒3/a

= a^4/12