Cáuculo Limites
Artigos Científicos: Cáuculo Limites. Pesquise 860.000+ trabalhos acadêmicosPor: DouglasHD10 • 30/3/2014 • 1.347 Palavras (6 Páginas) • 251 Visualizações
SUMÁRIO
Capítulo 1 – Limite e continuidade 3
1.1. Limites: Um conceito intuitivo 3
1.2. Limites: Técnicas para calcular 19
1.3. Limites: Uma definição matemática 39
1.4. Continuidade 52
1.5. Limites e continuidade das funções trigonométricas 65
Exercícios propostos (Capítulo 1) 76
Capítulo 2 – A derivada 79
2.1. A reta tangente e a derivada 79
2.2. Técnicas de diferenciação 89
2.3. Derivada de funções trigonométricas 101
2.4. Regra da cadeia 107
2.5. Diferenciais e aproximação linear local 110
Exercícios propostos (Capítulo 2) 117
Capítulo 3 – Funções Logarítmicas e Exponenciais 122
3.1. Funções inversas 122
3.2. Diferenciação implícita 134
3.3. Derivadas das funções logarítmicas e exponenciais 143
3.4. Derivada das funções inversas trigonométricas e a Regra
de L´Hopital 159
Exercícios propostos (Capítulo 3) 170
Capítulo 4 – Aplicações da derivada 175
4.1. Crescimento, decrescimento e concavidade 175
4.2. Extremos relativos 185
4.3. Extremos absolutos e gráficos 194
4.4. Problemas de otimização 211
Exercícios propostos (Capítulo 4) 226
Respostas dos exercícios propostos 230
Referências Bibliográficas 231
Curso de Cálculo I – Capítulo 1
Prof. Marcus V. S. Rodrigues
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CAPÍTULO 1 – LIMITE E CONTINUIDADE
1.1 Limites: Um conceito intuitivo
Dois problemas geométricos estimularam o desenvolvimento do
Cálculo: achar a área de regiões planas e achar retas tangentes às curvas. Em
ambos os casos se requerem um processo de limite para obter a solução.
Porém, o processo de limite ocorre em várias situações, sendo o conceito de
limite o alicerce sobre o qual todos os conceitos de cálculo estão baseados.
Em geral, pode-se dizer que o uso básico de limites é o de descrever
o comportamento de uma função quando a variável independente se aproxima
de certo valor. Por exemplo, seja a função;
( )
2 2
2
f x x x
x
− −
=
−
Esta função não está definida para x =2 , porém, pode-se analisar o
seu comportamento nas proximidades de x =2 . Isto é, interessa-se o
comportamento de f para valores de x próximos a 2, porém não para x =2 .
A aproximação a 2 pode-se ocorrer de duas formas, por valores
menores do que 2 , isto é pela esquerda, e por valores maiores do que 2 , isto
é pela direita. Desde modo pode-se construir a tabela 1.1, apresentada logo a
seguir.
Tabela 1.1
X 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2,0001 2,001 2,01 2,1
f(x) 2,9 2,99 2,999 2,9999 3,0001 3,001 3,01 3,1
Para reforçar este comportamento pode-se analisar, também, o
gráfico da função que é apresentado na figura 1.1.
Curso de Cálculo I – Capítulo 1
Prof. Marcus V. S. Rodrigues
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Figura 1.1
Analisando a tabela 1.1 e a figura 1.1 fica evidente que os valores de
f (x) tornam-se cada vez mais próximos de 3 à medida que x estiver mais
próximo de 2 , por qualquer um dos lados, esquerdo ou direito. Pode-se
também, tornar os valores de f (x) o mais próximo que se deseje de 3,
fazendo x suficientemente próximo de 2.
Definição 1.1.1. Se os valores de f (x) puderem ser definidos tão próximos
quanto queira de um número L , fazendo x suficientemente próximo de p
(porém não igual a p ), ou seja; f (x)→L quando x→p , então, escreve-se:
lim ( )
x p
f x L
→
= (1.1)
Neste caso, tem-se que
2 2 3
2
x x
x
− −
→
−
quando x→2, então,
escreve-se:
2
2
lim 2 3
x 2
x x
→ x
− −
=
...