Kits e modelos probabilísticos

Exercícios de Teoria da Probabilidade INE 5118

Prof. Paulo Sergio da Silva Borges – UFSC – 2005 02/03/2005

Eng. Elétrica

LISTA 1

Conjuntos e Modelos Probabilísticos

A Álgebra de Conjuntos tem diversas propriedades, que são conseqüências elementares das definições. Exemplos:

S∪T =T∪S; S∪(T∪U)= (S∪T)∪U; S∩(T∪U)=(S∩T )∪(S∩U); S∪(T∩U)=(S∪T)∩(S∪U);

(Sc)c = S; S ∩ Sc =Ø; S ∪Ω= Ω; S ∩ Ω= S. (Ω: espaço amostral; Ø: conjunto vazio)

Duas propriedades particularmente úteis são dadas pelas leis de De Morgan, as quais estabelem que:

(i) e (ii) .

1. Tem-se que P(A) = 0.55, P(Bc) = 0.35, e P(A ∪ B) = 0.75.

Determine P(B) e P(A ∩ B).

Resposta: P(B)=1– P(Bc)=0.65; P(A ∪ B) = P(A)+P(B) – P(A ∩ B)  P(A ∩ B)=0.55+0.65 –0.75 = 0.35

2. Sejam A e B dois conjuntos. Sob que condições o conjunto A∩(A∪B)c é vazio?

Resposta: Sempre. A prova fica para o aluno tentar.

3. Sejam A e B dois conjuntos.

(a) Mostre que (Ac ∩ Bc)c = A ∪ B e (Ac ∪ Bc)c = A ∩ B.

Resposta: Por De Morgan (ii): (Ac ∩ Bc)c = (Ac)c∪(Bc)c = A ∪ B; Por(i) (Ac ∪ Bc)c =(Ac)c ∩ Bc)c = A ∩ B.

(b) Considere um lançamento de um dado de 6 faces. Seja A o conjunto de resultados onde um número ímpar aparece na face superior. Seja B o conjunto de resultados onde 1 ou 2 aparecem. Calcule os conjuntos em ambos os lados das equações do item (a) acima e verifique se estas são verdadeiras. Resposta: Para o aluno tentar.

4. Sejam A e B dois conjuntos com um número finito de elementos. Mostre que o número de elementos em A ∩ B mais o número de elementos em A ∪ B é igual ao número de elementos em A mais o número em B. Resposta: Para o aluno tentar.

5. Tem-se que P(Ac) = 0.6, P(B) = 0.3, e P(A ∩ B) = 0.2. Determine P(A ∪ B). Resposta: P(A ∪B)= 0.5

6. Lança-se uma vez um dado de 4 faces (tetraedro, com faces 1, 2, 3 e 4) e depois lança-se outras vezes até que se obtenha uma face diferente da primeira. Seja (r1, r2) o resultado do experimento, onde r1 and r2 são as faces que sairam no primeiro e último lançamento, respectivamente. Assumir que todos os resultados possíveis são igualmente prováveis.

Encontre a probabilidade de que:

(a) r1 é par. Resposta: 1/2

(b) Ambos r1 e r2 são pares. Resposta: 1/6

Para ambos r1 e r2 serem pares, é necessário inciar com r1: par, P(r1:par)=1/2. O experimento E termina quando r2  r1. A probabilidade de que E termine no 2º lançamento é 1/23/4=3/8, sendo que a P(r2=par  r1)= 1/4 e P(r2=impar)=2/4. A probabilidade de que E prossiga para o 3º lançamento é 1/4. Neste, repete-se a situação anterior. Então, a P(r1 e r2: pares)= 1/2 [1/4+ 1/41/4 +1/4 1/41/4 + ...  soma de PG]=(1/8)/(1-1/4)=1/6.

(c) r1 + r2 < 5. Resposta: 1/3

Para que este novo E termine atendendo a condição com n=2 lançamentos, os seguintes 4 pares (r1, r2) são admissíveis: (1, 3), (1,2), (2, 1), (3, 1). Há o total de16 pares: os 4 listados correspondem a sucesso, outros 8 a fracasso (r1+ r2  5) e 4 (r1=r2) conduzem a um novo lançamento do dado. Assim, P(sucesso|n=2)= 4/16=1/4. P(n>2)=4/16=1/4. Havendo o terceiro lançamento, as mesmas probabilidades ocorrem. Logo, P(sucesso)= (1/4)/(1-1/4)

7. Um dado mágico de 4 faces (1, 2, 3, 4) é lançado duas vezes, sendo S a soma dos pontos obtidos. A probabilidade de que S = k é proporcional à soma k, para k = 2, 3, . . . , 8, e todas as maneiras que uma dada soma k possa ser conseguida são igualmente prováveis. Construa um modelo probabilístico adequado de se obter faces iguais.

Resposta: w = constante de proporcionalidade; Então, (2+3+4+5+6+7+8)w = 1; w=1/35

P(2 1)=2/35; P(2 2)=4/105; P(2 3)=4/105; P(2 4)=8/35.

8. Você compete em um torneio especial de xadrez onde você joga uma partida com cada um de quatro oponentes, mas V. pode escolher a ordem destes. V. vence o torneio se ganhar duas partidas consecutivas. V. conhece a probabilidade de vencer cada adversário. Qual a sua probabilidade de conquistar o torneio, assumindo que V. escolha a ordem ótima para as partidas?

Resposta: Sendo pi e qi (i= 1,2, 3, 4 - adversários) as probabilidades de ganhar ou perder, respectivamente, uma partida, a probabilidade de vencer o torneio é dada por p1*p2 + q1*p2*p3 + p1*q2*p3*p4 + q1*q2*p3*p4 , podendo quaisquer adversários assumir os índices 1, 2, 3 e 4.

9. Alice e Bruno escolhem individualmente um número real entre 0 e 2. Assumem-se probabilidades uniformes para os eventos. Considere os seguintes eventos:

A: A magnitude da diferença dos dois números é maior que 1/3.

B: Pelo menos um dos números é maior que 1/3.

C: Os dois números são iguais.

D: O número de Alice é maior que 1/3.

Encontre as probabilidades P(A), P(B), P(A ∩ B), P(C), P(D), P(A ∩ D).

Resposta (parcial)

10. Demonstre a fórmula P[(A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B)] = P(A) + P(B) − 2P(A ∩ B), a qual fornece a probabilidade de que exatamente um dos eventos A ou B ocorrerá. [Compare com a fórmula P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), que dá a probabilidade de que pelo menos um dos eventos A e B ocorrerá]

11. Mostre a seguinte generalização da fórmula P(A ∪B ∪C) = P(A) + P(Ac ∩B) + P(Ac ∩ B c ∩ C)

Sejam os eventos A, B, C, e D. Então, P(A∪B ∪C ∪D) = P(A)+P(Ac ∩ B)+P(Ac ∩ Bc ∩ C)+P(Ac ∩Bc ∩ Cc ∩ D).

Probabilidade Condicional

12. O disquete contendo a única