MODELOS MATEMÁTICOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAS

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 3

2 INTEGRAIS 4

2.1 Tabela de integrais 4

2.2 Definição de equações diferenciasi 5

3 MODELOS MATEMÁTICOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 6

3.1 Formação da camada de gelo 6

3.2 Gastos de uma companhia Desenvolvimento do estudo 7

3.3 Circuito Elétrico 8

3.4 A Lei de Newton de aquecimento e resfriamento 9

3.5 Custo e Custo marginal 10

REFERÊNCIAS..........................................................................................................11

1 INTRODUÇÃO

Este trabalho tem como objetivo conceituar a equação diferencial através de exemplos e demonstrar a relação entre modelos matemáticos e equações diferenciais.

2 INTEGRAIS

2.1 Tabela de Integrais

1- ʃ xm dx= xm+1 / m+1+ C, m ≠ - 1

2- ʃKdx = kx + C, K ϵ R

3- ʃ(f ± g) dx = ʃ fdx ± ʃgdx

4- ʃ cos (u) =sen (u) + C

5- ʃ-sen (u)du = cos (u) + C ou ʃ sen (u) Du = -cos(u) + C

6- ʃ sec2(u) du = tg (u) + C

7- ʃcsc2 (u)du = - cot g (u) + C

8- ʃsec (u) tg (u)du = sec (u) + C

9- ʃcsc (u)cot g(u)du = -csc (u) + C

10- y = e =>y’ = eu.u’

11- y = sen u =>y’=u’cos u

12- y = cos u =>y’ = - u’ sen u

13- ʃcos 8x = 1/8 sen 8x + C

14- ʃdu/u = ln u + C

2.2 Definição de equações diferencias

Muitas vezes em física, engenharia e outros ramos técnicos, há necessidade de encontrar uma função incógnita.

Em muitos casos esta pesquisa leva a uma equação envolvendo derivadas ( ou diferenciais) da função incógnita. Tais equações envolvendo derivadas (ou diferenciais) são chamadas equações diferenciais, em que a incógnita não é um número, mas uma função.

A equação que dá informação sobre a taxa de variação de uma função desconhecida, é a equação diferencial.

3 MODELOS MATEMÁTICOS E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

3.1 Formação do gelo

Quando se forma um gelo em um lago, a primeira parte que congela é a superfície. À medida que o calor da água se move para cima através do gelo e se perde no ar, forma-se mais gelos.

Qual seria a espessura da camada de gelo em função do tempo? Como a espessura da camada aumenta com o passar do tempo, ela será uma função crescente. Além disso, à medida que o gelo vai ficando mais espesso, ele isola melhor e, portanto, é de se esperar que a camada vá se formando mais devagar à medida que o tempo passa. Consequentemente a função espessura é crescente, mas com uma taxa decrescente e convexa.

Suponha que y represente a espessura do gelo como função do tempo, t. Como quanto mais espesso é o gelo, mais tempo é necessário para que o calor atravesse, vamos supor que taxa segundo a qual o gelo se forma seja inversamente proporcional à espessura. Assim, vamos supor que existe uma constante k tal que

Taxa de crescimento = k ,

da espessura Espessura

de modo que dy = k onde k > 0.

dt y

Esta equação diferencial permite encontrar uma fórmula para y. Usando separação de variáveis:

ʃ ydy = ʃ kdt

y2 = kt + C

2

Se medirmos o tempo de modo y = 0 quando t = 0, obtemos C = 0. Como y deve ser não-negativo, segue que y = Ѵ2kt

Se plotarmos num gráfico como segue abaixo, y em função de t, é possível observar que quanto maior y, mais devagar ele cresce. Além disso sugere que y cresce indefinidamente à medida que o tempo passa, sendo que o valor de y não pode exceder a profundidade do lago.

y (espessura) k grande

y =Ѵ 2kt

k pequeno

t(tempo)

3.2 Gastos de uma companhia

Vamos considerar uma companhia cuja receita é proporcional ao valor de uma companhia ( como os juros no caso da conta bancária), mas que também deve fazer pagamentos aos empregados. A pergunta é: em que circunstâncias a companhia tem lucros e em que circunstâncias ela vai à falência?

A instituição diz que se a folha de pagamentos excede a taxa segundo a qual

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