PRODUTO INTERNO
Seminário: PRODUTO INTERNO. Pesquise 860.000+ trabalhos acadêmicosPor: amerciolopes • 9/11/2014 • Seminário • 979 Palavras (4 Páginas) • 153 Visualizações
8 CAP´ ITULO 5. PRODUTO INTERNO
5.3.2 Processo de Ortogonaliza¸c˜ao de Gram-Schmidt
Bases ortonormais s˜ao ´uteis, como visto na se¸c˜ao anterior; mas como obtˆe-las?
Partindo-se de uma base qualquer de um subespa¸co, n˜ao ´e dif´ıcil construir
uma base ortogonal (ou ortonormal) para o mesmo subespa¸co.
No processo de ortogonaliza¸c˜ao de Gram Schmidt, uma base {v1, v2, . . . , vp} ´e substitu´ıda por outra ortogonal, {u1, u2, . . . , up}, com a caracter´ıstica adicional
de que, para cada i, existem ’s tais que ui = vi +
Pi−1
j=1 jvj . Assim,
devemos ter:
u1 = v1
u2 = v2 + v1
u3 = v3 + v1 +
v2
...
=
...
up = vp + . . . .
Note que os espa¸cos gerados pelos primeiros u’s e pelos primeiros v’s s˜ao
iguais, isto ´e, span{u1, u2, . . . , uk} = span{v1, v2, . . . , vk}, k = 1, 2, . . . , p.
Desta forma, podemos ainda escrever
u1 = v1
u2 = v2 + ˜ u1
u3 = v3 + ˜ u1 + ˜
u2
...
=
...
up = vp + . . . .
A exigˆencia de que esta base seja ortogonal nos permite determinar os
coeficientes ˜ , ˜ , ˜
, . . .. De fato,
u2 = v2 + ˜ u1
hu2, u1i = 0
⇒ hv2, u1i + ˜ hu1, u1i = 0 ⇒ ˜ = −hv2, u1i
hu1, u1i
u3 = v3 + ˜ u1 + ˜
u2
hu3, u1i = 0
hu2, u1i = 0
⇒ hv3, u1i + ˜ hu1, u1i = 0 ⇒ ˜ = −hv3, u1i
hu1, u1i
u3 = v3 + ˜ u1 + ˜
u2
hu3, u2i = 0
hu1, u2i = 0
⇒ hv3, u2i + ˜
hu2, u2i = 0 ⇒ ˜
= −hv3, u2i
hu2, u2i
5.3. BASES ORTONORMAIS 9
Assim,
u1 = v1
u2 = v2 − hv2, u1i
hu1, u1i
u1
u3 = v3 − hv3, u1i
hu1, u1i
u1 − hv3, u2i
hu2, u2i
u2
...
=
...
up = vp − hvp, u1i
hu1, u1i
u1 − hvp, u2i
hu2, u2i
u2 − . . . − hvp, up−1i
hup−1, up−1i
up−1
Se o objetivo for obter n˜ao apenas uma base ortogonal {u1, u2, . . . , up},
mas sim ortonormal {ˆq1, 2, . . . , ˆqp}, basta normalizarmos ao final: ˆqi =
kuik−1ui. Outra op¸c˜ao, ainda, ´e normalizar passo a passo; neste caso, os
denominadores desaparecem:
u1 = v1; ˆq1 = ku1k−1u1
u2 = v2 − hv2, ˆq1iˆq1 ˆq2 = ku2k−1u2
u3 = v3 − hv3, ˆq1iˆq1 − hv3, ˆq2iˆq2 ˆq3 = ku3k−1u3
...
=
...
up = vp − hvp, ˆq1iˆq1 − hvp, ˆq2iˆq2 − . . . − hvp, ˆqp−1iˆqp−1
Exemplo 4 Seja H = span
1
2
3
0
,
2
3
4
0
,
3
4
5
0
,
0
3
4
5
. Encontre uma
base ortonormal para
...