A Diferencial de uma Função
Por: felipe-rgs • 6/5/2018 • Trabalho acadêmico • 310 Palavras (2 Páginas) • 226 Visualizações
Diferencial de uma função
Profª Ursula Timm
Acréscimos de uma função:
Consideremos a função , onde é a variável independente e a variável dependente. Na função , quando a variável independente sofre variações, a variável dependente também estará sujeita à comportamento semelhante.[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]
Se, por exemplo, a variável variar de para , isto é, um , a variável y passará de para , sofrerá, portanto, uma variação ou [pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]
.[pic 12]
[pic 13]
Diferencial de uma função:
Dada a função derivável, denominamos diferencial da função e indicamos por , o produto de sua derivada pelo acréscimo arbitrário da sua variável independente.[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]
[pic 18]
O diferencial representa a parte principal da variação de uma função com relação à variações na variável independente.[pic 19]
Calculando a diferencial da função identidade y = x, temos:
[pic 20]
[pic 21]
Então, podemos escrever:
[pic 22]
[pic 23][pic 24]
[pic 25]
Isso nos mostra que a derivada da função, , pode ser também expressa como o quociente entre as diferenciais e .[pic 26][pic 27][pic 28]
Interpretação geométrica da diferencial:
[pic 29]
Da interpretação geométrica e das considerações, podemos ver que a diferencial determina o acréscimo aproximado da função quando
a variável independente recebe um acréscimo.
Aplicação da diferencial:
Usando o diferencial de uma função, determinar aproximadamente a raiz quadrada de 40.
Podemos escrever a função: [pic 30][pic 31]
Calculando a diferencial:
= acréscimo aproximado[pic 32][pic 33]
[pic 34]
Como: [pic 35]
[pic 36]
Temos, então, que [pic 37]
Aplicação da diferencial:
Calcular a variação que pode sofrer o lado de um quadrado, que mede 4 cm, de modo que que sua área não sofra uma variação maior do que 1 cm².
Temos que: e [pic 38][pic 39]
Podemos escrever a função: [pic 40]
[pic 41]
[pic 42]
[pic 43]
[pic 44]
Exercitando...
Calcular a diferencial das funções:
[pic 45]
[pic 46]
[pic 47]
Dada a função para e [pic 48][pic 49][pic 50]
- Calcule o valor de [pic 51]
- Calcule o valor de [pic 52]
- Calcule a diferença entre e em módulo.[pic 53][pic 54]
Atividades:
[pic 55]
[pic 56][pic 57][pic 58]
...