A Transformada de Laplace

O “sistema” representado no exemplo introdutório é composto por uma corrente líquida à temperatura Ti e vazão W em unidade de massa por tempo. Deseja-se aquecer esta corrente até a temperatura TR e para isso, o sistema é agitado e aquecido. O fluido é aquecido e removido pelo fundo do tanque à vazão W, como produto do aquecimento. Espera-se que temperatura de saída seja a mesma do tanque. Ademais, espera-se para um projeto satisfatório, que esta temperatura seja TR. (COUGHANOWR, KOPPEL, 1978).

Pode-se dizer que um processo em "estado estacionário" nenhuma das suas variáveis mudam com o tempo. Nesse estado, o balanço energético pode ser representado por: qs = wc (Ts -Tis), onde: qs representa o fluxo termico fornecido ao tanque e Tis representa a temperatura de entrada esperada para o tanque. Vale ressaltar que para um projeto satisfatório a temperatura da corrente efluente em regime estacionário Ts deve ser igual a TR. Sendo assim: qs = wc (TR -Tis). (COUGHANOWR, KOPPEL, 1978).

Contudo, fica evidente que com o fornecimento contínuo do fluxo qs, a temperatura deixará de ser TR. Assim, é preciso um controle de processo que decidirá o quanto o fluxo deverá variar para manter a temperatura desejada, necessitando do conhecimento das variáveis envolvidas no processo, como por exemplo a variação da temperatura T em função de Ti e qs e o balanço de energia. Ademais, é preciso atentar-se para a acumulação transiente de energia. (COUGHNOWR, KOPPEL, 1978)

A acumulação pode ser escrita como: VCdTdt , em unidade de energia por tempo, onde representa a densidade do fluido, V representa o volume de fluido do tanque e t representa a variável independente (tempo). Além disso, supondo que as vazões volumétricas de entrada e saída sejam constantes e iguais, sabe-se que a acumulação é entrada - saída. Nesse sentido, VCdTdt = WC (Ti - T) + q. (COUGHANOWR, KOPPEL, 1978)

Sendo assim, o controlador utilizará do conhecimento das variáveis conhecidas de T e TR para ajustar fluxo térmico fornecido. Tal processo recebe o nome de controle por re-alimentação, o qual não está presente na figura acima (Figura 1), caracterizando assim, um processo de Malha aberta. (COUGHANOWR, KOPPEL, 1978).

b) Resolvido por Carolina Menditi Silva

Figura 2: Sistema de controle para um tanque de aquecimento com agitação.

Resolvido por Carolina Menditi Silva

Fonte: (COUGHANOWR, KOPPEL, 1978)

O seguinte sistema consiste na entrada de uma corrente líquida a uma vazão W e temperatura T, sendo que dentro do tanque há uma agitação constante. O controlador mantém a temperatura TR, através da comparação da temperatura Tm com a TR e por meio do erro estabelecido (E = TR - Tm) o fluxo é aumentado ou diminuído de acordo com a necessidade. (COUGHNOWR, KOPPEL, 1978).

A Figura 2 indica que a fonte do fluxo térmico q pode ser eletricidade ou vapor. Se fosse usado uma fonte elétrica, o elemento final de controle poderia ser um transformador variável que é utilizado para ajustar corrente a um elemento de aquecimento por resistência. Se fosse usado vapor, o elemento final de controle seria uma válvula de controle de ajuste de vazão do vapor. Sabendo que em ambos, o sinal de saída busca ajustar q de modo a manter o controle de temperatura no tanque. Tais características tornam o processo em malha fechada pelo controle de realimentação que é feito. (COUGHNOWR, KOPPEL, 1978)

Questão 2

Resolvido por Theo Giovanni Brivio e Simões

Modelagem matemática

Em um projeto de regime estabelecido, um balanço de energia em torno do processo de aquecimento pode ser escrito como:

Para um projeto satisfatório, a temperatura da corrente efluente em regime estabelecido Ts deve ser igual a Tr. Por isso a equação fica:

qs=WC(TR-Tis)

Entretanto, se o aquecedor fornecer apenas um fluxo térmico qs constante, a temperatura do tanque deixará de ser Tr sempre que mudarem as condições do processo. Uma condição típica de processo passível de mudança é a temperatura de entrada Ti. (COUGHA NOWR; KOPPEL; 1986).

É preciso decidir de quanto se deve afastar o fluxo térmico q do seu valor qs a fim de corrigir qualquer desvio de T do seu valor Tr. O uso de mecanismos para este e outros propósitos semelhantes é conhecido como controle automático de processos. Para tomar decisões de controle com antecedência, é preciso como a temperatura T no tanque varia em resposta a variações em Ti e q. Para isso é necessário o balanço de energia para o processo no regime variável ou transiente.

Nesse balanço, os termos de entrada e saída são os mesmos que os empregados no balanço em regime estabelecido. Porém, ele também conta com a acumulação transiente de energia no tanque, que pode ser escrita como:

Supondo que as vazões volumétricas de entrada e saída sejam constantes e iguais, o termo pV é constante. Assim tem-se:

VCdTdt=WC(Ti-T)+q

O controlador deve executar a mesma tarefa que caberia ao operador humano, porém com maior exatidão. Isso significa que ele utilizará os valores conhecidos de T e Tr para ajustar o fluxo térmico. Por isso, chamaremos de erro a diferença (Tr - T) entre essas temperaturas. Portanto, é natural sugerir que o controlador altere o fluxo térmico proporcionalmente ao erro. Logo, o controlador irá obedecerá a seguinte equação:

q(t)=WC(TR-Tis)+Kc(TR-T)

Se baseando na equação de regime estabelecido, podemos substituir WC(Tr-Tis) da equação acima por qs, assim ficamos com:

q=qs+Kc(TR-T)

Substituindo esse valor de q na equação de acumulação com entrada e saída constantes, temos:

T1dTdt+(KcWC+1)T=Ti+KcWCTR+qsWC

Onde o termo T1 é conhecido como constante de tempo do tanque e é calculado por T1=VW. Ele representa o tempo necessário para encher o tanque a uma vazão W. A Ti é a temperatura de entrada, que suporemos ser função do tempo. Suponha que um processo esteja operando em condições de regime estabelecido previstas. Em um determinado instante, a temperatura de entrada (Tis) sofre um súbito aumento permanente, atingindo um novo