AS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO POR PARTES

ETAPA 02

PASSO 01

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO POR PARTES

Aprendemos que a técnica de integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A típica formula da integral por partes é:

Ou podemos demonstrar de forma mais compacta:

Utilizamos a integração por partes para aquelas funções que não podem ser calculadas através de substituição em u.

Como a maioria de outras técnicas de calculo de integrais, a integração por partes baseia-se na tentativa e no erro.

O Objetivo principal da integração por partes é transformar uma integral desconhecida em uma integral mais simples e conhecida. O sucesso de sua aplicação baseia-se unicamente na escolha de quem vai ser u e de quem vau ser v, ou em outras palavras, de quem será f(x) e de quem será g(x). Na integral por partes é necessário calcular tanto a derivada quanto a integral das funções escolhidas.

Caso seja feito uma escolha equivocada de f(x) e de g(x), teremos no final uma integral mais difícil de calcular do que tínhamos no inicio. Portanto a escolha de f(x) e g(x) é fundamental para o sucesso da integral por partes, evitando assim que tenhamos que reiniciar todo o processo.

TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

A integração por substituição também pode ser chamada de integração por mudança de variável e consiste em um processo de substituição de uma variável (as vezes torna-se necessário a substituição de toda a função) por uma função a partir do teorema fundamental do calculo.

A integração por substituição consiste em aplicar a mudança de variáveis u=g(x) pode ser demonstrada por:

=

HISTÓRIA DO SURGIMENTO DAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

Os primeiros problemas que apareceram na História relacionados com as integrais são os problemas de quadratura. Um dos problemas mais antigos enfrentados pelos gregos foi o da medição de superfícies a fim de encontrar suas áreas. Quando os antigos geômetras começaram a estudar as áreas de figuras planas, eles as relacionavam com a área do quadrado, por ser essa a figura plana mais simples. Assim, buscavam encontrar um quadrado que tivesse área igual à da figura em questão.

A palavra quadratura é um termo antigo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas.

Quadraturas que fascinavam os geômetras eram as de figuras curvilíneas, como o círculo, ou figuras limitadas por arcos de outras curvas. As lúnulas - regiões que se assemelham com a lua no seu quarto-crescente - foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Havia, entretanto, um problema: essa seqüência nunca poderia ser concluída. Apesar disso, essa foi uma idéia genial que deu origem ao método da exaustão.

Nesse contexto, uma das questões mais importantes, e que se constituiu numa das maiores contribuições gregas para o Cálculo, surgiu por volta do ano 225 a.C. Trata-se de um teorema de Arquimedes para a quadratura da parábola.

Arquimedes descobriu que a área da região limitada por uma parábola cortada por uma corda qualquer, é igual a 4/3 da área do triângulo que tem a mesma altura e que tem a corda como base. Esse cálculo pode ser encontrado no livro do Simmons, volume 2.

Arquimedes gerou também uma soma com infinitos termos, mas ele conseguiu provar rigorosamente o seu resultado, evitando, com o método da exaustão, a dificuldade com a quantidade infinita de parcelas. Este é o primeiro exemplo conhecido de soma infinita que foi resolvido.

Outra contribuição de Arquimedes foi a utilização do método da exaustão para encontrar a área do círculo, obtendo uma das primeiras aproximações para o número p.

Outras "integrações" foram realizadas por Arquimedes a fim de encontrar o volume da esfera e a área da superfície esférica, o volume do cone e a área da superfície cônica, a área da região limitada por uma elipse, o volume de um parabolóide de revolução e o volume de um hiperbolóide de revolução. Em seus cálculos, Arquimedes encontrava somas com um número infinito de parcelas. O argumento utilizado era a dupla reductio ad absurdum para "escapar" da situação incômoda. Basicamente, se não podia ser nem maior, nem menor, tinha que ser igual.

A contribuição seguinte para o Cálculo Integral apareceu somente ao final do século XVI quando a Mecânica levou vários matemáticos a examinar problemas relacionados com o centro de gravidade. Em 1606, em Roma, Luca Valerio publicou De quadratura parabolae onde utilizou o mesmo método grego para resolver problemas de cálculo de áreas desse tipo.

Kepler, em seu trabalho sobre o movimento dos planetas, teve que encontrar as áreas de vários setores de uma região elíptica. O método de Kepler consistia em pensar na superfície como a soma de linhas - método este que, na prática, apresentava muita imprecisão. Analogamente, para calcular volumes de sólidos, pensava na soma de fatias planas. Desse modo, calculou os volumes de muitos sólidos formados pela revolução de uma região bidimensional ao redor de um eixo. Para o cálculo de cada um desses volumes, Kepler subdividia o sólido em várias fatias, chamadas infinitésimos, e a soma desses infinitésimos se aproximava do volume desejado.

Os próximos matemáticos que tiveram grande contribuição para o nascimento do Cálculo Integral foram Fermat e Cavalieri. Em sua obra mais conhecida, Geometria indivisibilibus continuorum nova, Cavalieri desenvolveu a idéia de Kepler sobre quantidades infinitamente pequenas. Aparentemente, Cavalieri pensou na área como uma soma infinita de componentes ou segmentos "indivisíveis". Ele