ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS: Equações Diferenciais e Séries
Por: weston77 • 31/3/2016 • Trabalho acadêmico • 930 Palavras (4 Páginas) • 271 Visualizações
[pic 1]
FACULDADE ANHANGUERA DE TAUBATÉ
Engenharia de Produção Mecânica
ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS
Equações Diferenciais e Séries
Taubaté
2015
ANHANGUERA EDUCACIONAL
FACULDADE ANHANGUERA DE TAUBATÉ
Engenharia de Produção Mecânica 4ª B
Mecânica
Antônio Marcelo Pereira Neto – RA 8498224580
Felipe Prado Oliveira – RA 9902008910
Rafael do Nascimento Silva – RA 8203949493
Weston Ferreira de Carvalho – RA 8075844676
Atividades Práticas Supervisionadas da Anhanguera
Educacional como requisito parcial de obtenção
de nota sobre orientação da professora Débora Cervellini
Taubaté
2015
Sumário
ETAPA 1
Passo 1 – Pesquisar e estudar sobre modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.
Equações diferenciais¹
Fenômenos físicos frequentemente envolvem relações entre
uma variável independente x e uma variável dependente y.
Tais relações não são fáceis ou mesmo possíveis de serem
descritas como uma função da variável independente:
y = f (x)
Ás vezes podemos estabelecer a relação entre y e x através de
seus valores e as derivadas da função desconhecida dy/dx.
Em circuitos elétricos, por exemplo, desejamos encontrar a
voltagem como uma função do tempo, v(t), que pode ser
escrita como uma relação das derivadas de v no tempo e as
propriedades do circuito.
Uma relação expressa como uma função da variável
independente x, da variável dependente y e suas derivadas
y0(x), y00(x), . . . é dita equação diferencial.
Uma relação que envolve derivadas até ordem n é dita
equação diferencial ordinária (EDO), podendo ser colocada na
forma matemática:
f (x, y(x), y0(x), . . . , y(n)(x)) = 0
Quando o tempo é a variável independente
No caso da variável independente ser o tempo t, o sistema de
equações diferenciais ordinárias toma a forma:
˙ x1 = f1(x1, . . . , xn)
˙ x2 = f2(x1, . . . , xn)
...
...
˙ xn = fn(x1, . . . , xn)
Mais especificamente, estaremos interessados no problema de
encontrar a trajetória x(t), t 2 [0,T], a partir de um estado
inicial x(0) 2 Rn onde x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)).
Exemplos:
- Suspensão de automóvel (simplificada)
Representação
A suspensão de uma roda de veículo pode ser representada, de
forma simplificada, por:
- Uma massa M (kg) suportada pela roda;
- Um conjunto de molas representado pela mola ideal com
constante K (N/m) e
- Um amortecedor representado pelo sistema de absorção B
(Ns/m).
[pic 2]
Fig. 1 – Suspensão de automóvel simplificada.
Conforme eixos coordenados, o sistema está em repouso na
posição y = 0 e velocidade y˙ = 0.
A suspensão é submetida a uma força externa f (t)
dependente do terreno e da carga do veículo.
As forças e respectivas direções de referência estão indicadas
na figura.
De acordo com a lei de Newton, a soma das forças que atuam no
sistema deve igualar a massa vezes a aceleração:
[pic 3]
ou seja,
f − FM − FK − FB = [pic 4]
Formalmente:
f(t) – Mg – Ky(t) – B = (1)[pic 5][pic 6]
+ + = - g+ f(t) (2)[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]
Vamos definir o estado do
sistema como x(t), sendo este dado por:
= (3)[pic 11][pic 12]
Procedendo à mudança de variável, substituímos x(t) no lugar de
y(t) e dy(t)/dt em (1) – (2), obtendo:
= = (4)[pic 17][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]
As equações acima nos levam a:
...