Atividade Estruturada - Calculo 3

Cálculo diferencia e Integral III

RESOLUÇÃO DE PROBLEMA DE JUROS COMPOSTOS APLICANDO EDO

Uma pessoa deposita R$4.000,00 em uma conta poupança no Branco do Brasil a uma taxa de juro composto de 10 % ao ano. Qual será o saldo dessa conta após um período de 5 anos? Em quanto tempo a quantia depositada terá seu valor dobrado?

ENTENDENDO O PROBLEMA:

Certo valor S é depositado em um banco a uma taxa de juros continua r, permanecendo ali por um tempo t, assim é correto afirmar que a taxa de variação do valor depositado (dS) em relação á taxa de variação do tempo (dt) é igual ao produto da taxa de juros pelo valor do investimento, dado pela seguinte equação:

[pic 1]

Separando as diferenciais teremos então:

[pic 2]

Integrado os membros das equações:

 → [pic 3][pic 4]

Colocando os dois membros na base, considerar C1 e C2 constantes e fazendo ln C1 – ln C2 = lnC, teremos:

[pic 5]

Onde:

• C = valor da aplicação no instante inicial

Ou seja, [pic 6]

Então, a equação para Juros Composto será:

[pic 7]

SOLUÇÃO:

• S(t) = valor aplicado
• t = tempo
• r = taxa de rendimento

Valor depositado inicialmente R$4.000,00 logo terá que S0 = 4000, a uma taxa de 10% a.a., durante 5 anos, logo t = 5, aplicando a formula do juros composto teremos:

[pic 8]

Resolvendo esta equação o saldo neste tempo será de R$ 6.594,89.

Calculando o instante em que o saldo será o dobro do valor inicial será:

[pic 9]

Assim consegue-se o tempo em que o valor inicial será o dobro e também o intervalo de tempo em que os valores desta conta dobraram seu valor.

Aplicando modelo terá:

[pic 10]

Dividindo os dois membros da equação por S0, terá:

[pic 11]

Sabendo que r=0,1 e aplicando logaritmos encontrará:

[pic 12]

Assim terá que 0,1t = ln2, logo:

[pic 13]

Ou seja, aproximadamente 7 anos.

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