CALCULO TEOREMA DE GREEN
Por: Gabriel Francisco • 25/8/2021 • Trabalho acadêmico • 1.008 Palavras (5 Páginas) • 178 Visualizações
- TEOREMA DE GREEN
- Definição
O teorema de Green fornece a relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região do plano D delimitada por C. (apresentado na Figura 1).
[pic 1]
Figura 1. (Fonte: Stewart, 2013, p.971)
Ao enunciarmos o Teorema de Green, usamos a convenção de que a orientação positiva de uma curva fechada simples C refere-se ao sentido anti-horário de C, percorrido uma só vez. Assim, se C é dada pela função vetorial r(t), a ≤ t ≤ b, então a região D está sempre do lado esquerdo quando r(t) percorre C.[pic 2]
(a) Orientação positiva (b) orientação negativa
Figura 2 . (Fonte: Stewart, 2013, p.971)
1.2 Teorema de Green
Seja C uma curva plana simples, fechada, contínua por partes, orientada positivamente, e seja D a região delimitada por C. Se P e Q têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas sobre uma região aberta que contenha D, então:
[pic 3]
1.3 Demonstração do Teorema de Green
Em casos onde D é uma região simples:
[pic 4]
Vamos demonstrar a Equação exprimindo D como uma região do tipo I:
[pic 5]
Onde e são continuas.[pic 6][pic 7]
[pic 8]
[pic 9]
Figura 3. (Fonte: Stewart, 2013, p.972)
Vamos agora calcular o lado esquerdo da Equação, quebrando C como a união das quatro curvas C1, C2, C3 e C4 mostradas na Figura 3. Sobre C1 tomamos x como parâmetro e escrevemos as equações paramétricas como x = x, y = .[pic 10]
[pic 11]
Observe que C3 vai da direita para a esquerda, mas -C3 vai da esquerda para a direita, então podemos escrever as equações paramétricas de -C3 como x = x, y = .[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
Logo, concluímos que:
[pic 15]
1.4 Exemplo
Calcule onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) a (0, 1), e de (0, 1) a (0, 0).[pic 17][pic 16]
Figura 4. (Fonte: Stewart, 2013, p.972)
Solução:
[pic 18]
[pic 19]
[pic 20]
1.5 Aplicações
- Eletricidade e magnetismo: Teorema de Gauss
- Geometria diferencial: Teorema de Stokes
- ROTACIONAL E DIVERGENTE
2.1.1 Rotacional
- Definição
Se é um campo vetorial em e as derivadas parciais de P, Q e R existem, então o rotacional de é o campo vetorial em definido por[pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]
[pic 25]
Ao introduzir o operador diferencial vetorial:[pic 26]
[pic 27]
Quando ele opera sobre uma função escalar, produz o gradiente de :[pic 28]
[pic 29]
Se pensarmos em como um vetor de componentes ∂/∂x, ∂/∂y e ∂/∂z, podemos também considerar o produto vetorial formal de pelo campo vetorial F[pic 30][pic 31]
= [pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]
Portanto, temos que:
rot =[pic 36][pic 37]
2.1.3 Teorema
Se f é uma função de três variáveis que tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então:
[pic 38]
2.1.4 Demonstração
[pic 39]
[pic 40]
[pic 41]
2.1.5 Teorema
Se F for um campo vetorial definido sobre todo ℝ³ cujas funções componentes tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas e rot F = 0, F será um campo vetorial conservativo
2.1.5 Exemplo
Mostre que é um campo vetorial conservativo.[pic 42]
Solução:
rot == [pic 43][pic 44][pic 45]
[pic 46]
2.1.6 Aplicação
A origem do nome rotacional é que o vetor rotacional está associado com rotações. A definição de rotacional pode ser vista na mecânica dos fluidos quando F representa um campo de velocidade. Partículas perto de (x,y,z) no fluido tendem a rodar em torno do eixo que aponta na direção de rot F(x,y,z), e o comprimento do vetor rotacional é a medida de quão rápido as partículas se movem em torno do eixo. Se rot F = 0 no ponto, então o fluido é isento de rotações no mesmo ponto e F é chamado de irrotacional no ponto. Se rot F ≠ 0, a roda com gás ou fluido giraria em torno de seu próprio eixo.
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