Conceito de População e Amostra
Projeto de pesquisa: Conceito de População e Amostra. Pesquise 860.000+ trabalhos acadêmicosPor: • 13/11/2013 • Projeto de pesquisa • 12.049 Palavras (49 Páginas) • 408 Visualizações
MINISTÉRIO DA CIÊNCIA E TECNOLOGIA
INSTITUTO NACIONAL DE PESQUISAS ESPACIAIS
ESTATÍSTICA - CURSO 1
Dra. Corina da Costa Freitas
MSc. Camilo Daleles Rennó
MSc. Manoel Araújo Sousa Júnior
Material de referência para o curso 1 de estatística.
INPE
São José dos Campos
Março de 2003
SUMÁRIO
Pág.
LISTA DE FIGURAS
LISTA DE TABELAS
CAPÍTULO 1 – INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 –O que é Estatística? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 – Conceitos de População e Amostra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 – Tipos de Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 – Distribuições de Freqüência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 – Freqüências e freqüências relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 – Distribuição de freqüências e sua representação gráfica para variáveis
quantitativas discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 – Distribuição de freqüências e sua representação gráfica para variáveis
quantitativas contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6.1 – Curvas de Freqüência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 – Medidas de Tendência Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7.1 – Média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7.2 – Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7.3 – Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8 – Medidas de Dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8.1 – Amplitude Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8.2 – Desvio Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.8.3 – Coeficiente de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.4 – Variância (¾2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.8.5 – Desvio Padrão (¾) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9 – Momentos, Assimetria e Curtose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9.1 – Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.9.2 – Assimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.9.3 – Curtose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
CAPÍTULO 2 – PROBABILIDADE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1 – Definição de Probabilidade utilizando Freqüência Relativa . . . . . . . 27
2.2 – Experimentos aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 – Espaço Amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 – Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 – Classe dos Eventos Aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6 – Definição Clássica de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.7 – Operações com Eventos Aleatórios - Teoria dos Conjuntos . . . . . . . 32
2.7.1 – União de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.7.2 – Intersecção de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.7.3 – Complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.7.4 – Eventos Mutuamente Exclusivos ou Disjuntos . . . . . . . . . . . . . 34
2.8 – Definição Axiomática de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.9 – Eventos Independentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.10 –Análise Combinatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.10.1 –Permutação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.10.2 –Combinações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.11 –Probabilidade Condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.12 –Probabilidade Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.13 –Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.13.1 –Teoria de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
CAPÍTULO 3 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES 47
3.1 – Variável Aleatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 – Tipos de Variáveis Aleatórias, Função de Probabilidade e Função
Densidade de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 – Função de Distribuição Acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 – Distribuições Bivariadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.1 – Distribuições Conjuntas Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4.2 – Distribuições Conjuntas Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 – Distribuições Marginais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6 – Esperança de Uma Variável Aleatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6.1 – Distribuições Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.6.2 – Distribuições Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.6.3 – Propriedades da Esperança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.7 – Variância de uma Variável Aleatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.7.1 – Variáveis Aleatórias Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.7.2 – Variáveis Aleatórias Contínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.7.3 – Propriedades da Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.8 – Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.8.1 – Momentos Centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.8.2 – Função Geratriz de Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.8.3 – Propriedades das Funções Geradoras de Momentos . . . . . . . . . . 65
3.9 – Funções de uma Variável Aleatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.9.1 – Variável com Distribuição Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.9.2 – Variável com Distribuição Contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.10 –Algumas Distribuições Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.10.1 –Distribuição Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.10.2 –Distribuição Hipergeométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.10.3 –Distribuição Binomial Negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.10.4 –Distribuição Geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.10.5 –Distribuição de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.11 –Algumas Distribuições Contínuas Importantes . . . . . . . . . . . . . . 81
3.11.1 –Distribuição Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.11.2 –Distribuição Normal Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.11.3 –Teorema do Limite Central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.11.4 –Distribuição Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.11.5 –Distribuição Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.11.6 –Distribuição Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.11.7 –Distribuição Normal Bivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.11.8 –Distribuição Normal Multivariada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
CAPÍTULO 4 – INFERÊNCIA ESTATÍSTICA . . . . . . . . . . . . 97
4.1 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1.1 – Parâmetros de uma distribuição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1.2 – Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1.3 – Estimação Pontual e por Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2 – Estimação Pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.2.1 – Método dos Momentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.2 – Método da Máxima Verossimilhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.3 – Estimadores Não Tendenciosos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.4 – A Distribuição Â2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5 – A Distribuição t-student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.5.1 – Distribuição da Média Amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.5.2 – Distribuição da diferença de médias amostrais . . . . . . . . . . . . . 106
4.6 – Distribuição F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.6.1 – Distribuição da Razão entre duas Variâncias Amostrais . . . . . . . . 107
4.7 – Estimação por Intervalos - Intervalos de Confiança . . . . . . . . . . . 108
4.7.1 – Intervalo de Confiança para a Média Populacional ¹ . . . . . . . . . 108
4.7.2 – Intervalo de Confiança para a Variância Populacional ¾2 . . . . . . . 111
4.7.3 – Intervalo de Confiança para a diferença de médias de duas Populações 112
4.7.4 – Intervalo de Confiança para Razão das Variâncias ¾2
1=¾2
2 . . . . . . . 114
4.7.5 – Intervalo de Confiança para uma Proporção . . . . . . . . . . . . . . 114
4.7.6 – Intervalo de Confiança para Diferença de Proporções . . . . . . . . . 115
CAPÍTULO 5 – TESTES DE HIPÓTESES . . . . . . . . . . . . . . 117
5.1 – Hipótese Nula e Hipótese Alternativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2 – Região Crítica do Teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.3 – Erros do Tipo I e Erros do tipo II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4 – Teste da hipótese de que a média populacional tem um valor específico 118
5.4.1 – ¾ conhecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.4.2 – ¾ desconhecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.5 – Controlando o erro tipo II (¯) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.6 – Teste da hipótese de que a variância populacional tem um valor específico 123
5.7 – Teste da razão de variâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.8 – Teste da hipótese da igualdade de duas médias . . . . . . . . . . . . . . 127
5.8.1 – ¾2
1 e ¾2
2 conhecidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.8.2 – ¾2
1 e ¾2
2 desconhecidas, mas ¾2
1 = ¾2
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.8.3 – ¾2
1 e ¾2
2 desconhecidas, mas ¾2
1 6= ¾2
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.9 – Teste para proporção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.9.1 – Diferença entre proporções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.10 –Teste Â2 da independência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
CAPÍTULO 6 –ANÁLISE DE VARIÂNCIA . . . . . . . . . . . . . . 139
6.1 – Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.2 – Análise de Variância de Um Fator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.3 – Teste para Igualdade de Várias Variâncias . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.4 – Análise de Variância de Dois Fatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.5 – Análise de Variância de Dois Fatores - Várias observações por cela . . . 157
6.5.1 – Identidade da Soma de Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
LISTA DE FIGURAS
Pág.
1.1 Figura tirada de : Costa Neto, P. L. de O. - Estatística, Ed. Edgard
Blücher Ltda - 1977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Histograma de freqüência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Histograma de freqüências relativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Histograma de freqüências relativas acumuladas . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Histograma e Poligono de freqüência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.6 Histograma freqüência acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7 Histograma freqüência acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.8 Exemplos de curtose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1 União dos conjuntos A e B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 Intersecção dos conjuntos A e B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3 Complemento do conjunto A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 A probabilidade a priori nas f.d.p. das classes . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1 Gráfico de P(x) para dois dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Gráfico de fdp de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Gráfico F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4 Meyer, página 75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5 Degroot, página 93. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.6 Degroot, página 95. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.7 Gráfico de f(x) de uma função uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.8 Probabilidade de uma variável aleatória uniforme . . . . . . . . . . . . 90
6.1 Distribuições normais com mesma variância (¾2) para todas as populações 142
6.2 Distribuições normais com mesma média (¹) para todas as populações 142
6.3 Efeitos de fertilizantes e variedades de trigo, sem interação . . . . . . . 157
6.4 Efeitos de fertilizantes e variedades de trigo, sem interação . . . . . . . 158
LISTA DE TABELAS
Pág.
1.1 Número de filhos dos 50 funcionários da empresa Fictícia S.A. . . . . . 15
1.2 Freqüências, freqüências relativas e freqüências relativas acumuladas . . 17
1.3 Altura (cm) dos 50 funcionários da empresa Fictícia S.A. . . . . . . . . 18
1.4 Altura (cm) dos funcionários da Fictícia S.A. . . . . . . . . . . . . . . 20
5.1 Representação do erros do tipo I e II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2 Canditados selecionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3 Valores da ^E
ij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO
1.1 O que é Estatística?
Estatística é a ciência que investiga os processos de obtenção, organização e análise
de dados sobre uma população, e os métodos de tirar conclusões ou fazer predições
com base nesses dados.
Este conceito tem um significado mais amplo do que aquele que usualmente se
dá à palavra "estatística", isto é, o resultado de contagens sobre a ocorrência de
determinados eventos e a sua representação através de gráficos e tabelas, como,
por exemplo, as estatísticas de ocorrência de chuvas numa certa época do ano; as
estatísticas sobre os ganhadores de prêmios de loteria; as estatísticas de renda média
por região etc.
Em geral, este conceito mais popular de estatística corresponde somente à
organização e descrição dos dados relativos a um determinado experimento ou
situação e não trata da análise e interpretação desses dados. Ele está associado
à parte da Estatística que denominamos de Estatística Descritiva. A Estatística
Descritiva, portanto, é a parte da Estatística que se preocupa com a organização e
descrição de dados experimentais.
Além da Estatística Descritiva há a Estatística Indutiva ou Estatística Inferencial
que consiste, fundamentalmente, das técnicas de análise e interpretação dos dados. A
partir de um conjunto restrito de dados, chamado de amostra, organizado e descrito
pela Estatística Descritiva, a Estatística Indutiva procura fazer inferências ou, em
outras palavras, tirar conclusões sobre a natureza desses dados e estender essas
conclusões a conjuntos maiores de dados, chamados de populações.
É evidente que, para que a Estatística Indutiva possa deduzir conclusões válidas, é
necessário que se tomem alguns cuidados para a escolha da amostra a ser utilizada.
Esses cuidados, mais propriamente chamados de critérios, são estabelecidos por uma
técnica chamada de amostragem.
Contudo, para permitir que a Estatística Indutiva proporcione conclusões válidas
não basta utilizar as técnicas de organização e descrição dos dados da Estatística
11
Descritiva e as técnicas corretas de amostragem. Fica ainda faltando uma última
ferramenta que é o cálculo de probabilidades. O cálculo de probabilidades é um
conjunto de técnicas matemáticas que visa determinar as chances de ocorrência de
eventos regidos pelas leis do acaso.
A Figura 1.1 abaixo interrelaciona os conceitos citados:
Fig. 1.1 – Figura tirada de : Costa Neto, P. L. de O. - Estatística, Ed. Edgard
Blücher Ltda - 1977
1.2 Conceitos de População e Amostra
População ou Universo é a totalidade dos objetos concebíveis de uma certa classe
em consideração.
Amostra são os objetos selecionados da população. Se esses objetos são selecionados
de tal maneira que cada objeto tem a mesma chance de ser selecionado do que o
outro, temos uma amostra aleatória
1.3 Tipos de Variáveis
É necessário, inicialmente, que se defina qual(is) a(s) características dos elementos
que deverá(ão) ser verificada(s). Ou seja, não se trabalha estatisticamente com os
elementos existentes, mas com alguma(s) característica(s) desses elementos. Por
exemplo, os elementos a serem estudados podem ser a população de uma cidade,
mas estaremos interessados em alguma característica como renda, idade, sexo, tipo
de moradia, etc. Trabalha-se portanto com os valores de uma variável (que é a
característica de interesse), e não com os elementos originalmente considerados. A
escolha da variável (ou variáveis) de interesse dependerá dos objetivos do estudo
12
estatístico em questão. Esta característica (variável) poderá ser qualitativa ou
quantitativa.
A variável será qualitativa quando resultar de uma classificação por tipos ou
atributos, como nos seguintes exemplos:
² a) População: alunos de uma universidade
Variável: sexo (masculino ou feminino).
² b) População: moradores de uma cidade
Variável: tipo de habitação (casa, apartamento, barraco, etc.).
² c) População: peças produzidas por uma máquina
Variável: qualidade (perfeita ou defeituosa).
² d) Óbitos em um hospital, nos últimos cinco anos
Variável: causa mortis (moléstia cardiovasculares, cânceres, etc)
² e) População Brasileira
Variável: cor da pele (branca, preta, amarela, vermelha, parda).
A variável será quantitativa quando seus valores forem expressos em números. Pode
ser subdivida em:
1 - quantitativa discreta: pode assumir apenas valores pertences a um
conjunto enumerável;
2 - quantitativa contínua: pode assumir qualquer valor em um certo
intervalo de variação.
Alguns exemplos de variáveis quantitativas discretas são:
² a) População: habitações de uma cidade.
Variável: número de banheiros.
² b) População: casais residentes em uma cidade.
Variável: número de filhos.
13
² c) População: aparelhos produzidos em uma linha de montagem.
Variável: número de defeitos por unidade.
² d) População: Bolsa de valores de São Paulo.
Variável: número de ações negociadas.
Alguns exemplos de variáveis quantitativas contínuas são:
² a) População: estação meteorológica de uma cidade.
Variável: precipitação pluviométrica durante um mês.
² b) População: pregos produzidos por uma máquina.
Variável: comprimento.
² c) População: propriedades agrícolas do Brasil.
Variável: produção de algodão.
² d) População: indústrias de uma cidade.
Variável: índice de liquidez.
² e) População: pessoas residentes em uma cidade.
Variável: idade.
Para atingir os objetivos da Estatística descritiva, os dados observados são muitas
vezes sintetizados e apresentados em formas de tabelas ou gráficos, os quais irão
fornecer rápidas e seguras informações a respeito das variáveis em estudo. Uma
das tabelas mais utilizadas na estatística é a distribuição de freqüências. Os gráficos
associados à ela são o gráfico de freqüências (denominado histograma, para o caso de
variáveis quantitativas contínuas), o polígono de freqüências, o gráfico de freqüência
acumulada e o polígono de freqüência acumulada.
1.4 Distribuições de Freqüência
Muitas vezes os gráficos são elaborados utilizando-se as freqüências dos valores da
variável. Para tal, necessitamos definir alguns conceitos importantes.
1.4.1 Freqüências e freqüências relativas
Definimos freqüência de um valor de uma variável (qualitativa ou quantitativa)
como sendo o número de vezes que aquele valor se repete no conjunto de dados
14
experimentais. Usaremos a notação fi para representar a freqüência do i-ésimo valor
observado.
Sendo n o número total de valores observados e k o número de diferentes valores
obtidos, tem-se:
Xk
i=0
fi = n (1.1)
Exemplo
Seja o conjunto de dados abaixo (Tabela 1.1), que representa o número filhos de
funcionários da empresa Fictícia S.A..
TABELA 1.1 – Número de filhos dos 50 funcionários da empresa Fictícia S.A.
Num.de Filhos Freqüência Freq. Relativa
0 15 0,30
1 10 0,20
2 13 0,26
3 6 0,12
4 3 0,06
5 3 0,06
Total 50 1,00
As freqüências são:
² f0 = 15 (corresponde ao valor 0)
² f1 = 10 (corresponde ao valor 1)
² f2 = 13 (corresponde ao valor 2)
² f3 = 6 (corresponde ao valor 3)
² f4 = 3 (corresponde ao valor 4)
² f5 = 3 (corresponde ao valor 5)
15
Chamamos de distribuição de freqüências à associação das freqüências aos
respectivos valores observados. Portanto, a representação acima caracteriza uma
distribuição de freqüências. Do mesmo modo, podemos definir freqüência relativa de
um valor observado como sendo a relação:
p
0
i =
fi
n
(1.2)
Verifica-se facilmente que:
Xk
i=0
p
0
i = 1 (1.3)
1.5 Distribuição de freqüências e sua representação gráfica para
variáveis quantitativas discretas
A Tabela 1.1 representa a distribuição de frquencias para a variável discreta "número
de filhos". A representação gráfica de uma distribuição de freqüência de uma variável
quantitativa discreta é denominada gráfico de freqüências (Figura 1.2). Utilizando o
exemplo, temos o seguinte gráfico de frequencias
Fig. 1.2 – Histograma de freqüência
Uma outra representação utilizada é a do gráfico das freqüências acumuladas
16
e freqüências relativas acumuladas. Tomando-se os dados do exemplo anterior
podemos calcular as freqüências, freqüências acumuladas e freqüências relativas
acumuladas dos diversos valores. Esse cálculo está ilustrado na Tabela 1.2.
TABELA 1.2 – Freqüências, freqüências relativas e freqüências relativas acumuladas
Num.de Filhos Freqüência Freq. Relativa Freq. Relativa
Acumulada
0 15 0,30 0,30
1 10 0,20 0,50
2 13 0,26 0,76
3 6 0,12 0,88
4 3 0,06 0,94
5 3 0,06 1,00
Total 50 1,00 -
Com os dados acima podemos construir o gráfico de freqüências relativas (Figura
1.3) e freqüências relativas acumuladas (Figura 1.4).
Fig. 1.3 – Histograma de freqüências relativas
17
Fig. 1.4 – Histograma de freqüências relativas acumuladas
1.6 Distribuição de freqüências e sua representação gráfica para
variáveis quantitativas contínuas
As variáveis quantitativas contínuas diferem um pouco das discretas na sua forma
de representação gráfica. Para entender essa diferença temos que nos lembrar que
as variáveis contínuas, por definição, têm os seus valores definidos num intervalo
contínuo dos números reais. Portanto, não tem sentido falar em freqüência de
repetição de um determinado valor, pois os valores raramente se repetem. A Tabela
1.3 representa uma distribuição de freqüência para a variável contínua "altura de
funcionários".
TABELA 1.3 – Altura (cm) dos 50 funcionários da empresa Fictícia S.A.
Altura Freqüência Freq. Relativa
151 - 159 2 0,04
159 - 167 11 0,22
167 - 175 18 0,36
175 - 183 10 0,20
183 - 191 8 0,16
191 - 199 1 0,02
Total 50 1,00
Intervalos de classes: O símbolo que define uma classe
18
Exemplo: 151 ¡ 158
Limites da classe: Os números extremos de cada intervalo
Exemplo: o limite inferior da 1a classe é 151 e o limite superior da 1a classe é 158
Ponto médio de classe:ponto intermediário do intervalo de classe
Exemplo: Ponto médio da 1a classe é 154; 5
Amplitude do intervalo de classe: é a diferença entre os limites reais superior e
inferior
Exemplo: amplitude da 1a classe é 8
Com os dados da Tabela 1.1 podemos construir o gráfico de freqüências do mesmo
modo que fizemos para as variáveis discretas. A diferença mais importante é que,
agora, as freqüências são associadas a intervalos de valores (classes de freqüências)
e não mais a valores individuais da variável em estudo.
Além disto, o gráfico, neste caso, é chamado de histograma (Figura 1.5) que consiste
em um conjunto de retângulos, com centro no ponto médio e larguras iguais aos
intervalos das classes, e áreas proporcionais às freqüências das classes.
A seguir está mostrado o histograma correspondente aos dados do exemplo acima,
e o polígono de freqüências, que é o gráfico obtido unindo-se os pontos médios dos
patamares do histograma.
Fig. 1.5 – Histograma e Poligono de freqüência
19
O próximo gráfico é o polígono de freqüências acumuladas. Ele é construído unindo-se
as freqüências acumuladas ao final de cada classe de freqüências (Tabela 1.4). Pode
ser construído também com as freqüências relativas acumuladas e, neste caso, ele se
chama polígono de freqüências relativas acumuladas. O primeiro está mostrado na
Figura 1.6.
TABELA 1.4 – Altura (cm) dos funcionários da Fictícia S.A.
Altura Num. de Funcionários
< 151 0
< 159 2
< 167 13
< 175 31
< 183 41
< 191 50
Fig. 1.6 – Histograma freqüência acumulada
1.6.1 Curvas de Freqüência
Tipos de curvas de freqüência: As curvas de freqüência aparecem, na prática,
sob diversas formas características, como as indicadas na Figura 1.7
1.7 Medidas de Tendência Central
As medidas mais comuns são: média, mediana, moda
20
Fig. 1.7 – Histograma freqüência
1.7.1 Média
A média de um conjunto de N números X1;X2; :::;XN é representada por ¹X
e
definida por:
¹X
=
X1 + X2 + ::: + XN
N
=
PN
i=1 Xi
N
(1.4)
De modo geral, para dados agrupados, temos:
¹X
»=
Xm
i=1
xi
µ
fi
N
¶
(1.5)
onde: xi é o ponto médio da classe i; fi
N é a freqüência relativa da classe i; e m é
número de classes.
1.7.2 Mediana
A mediana de um conjunto de números, ordenados em ordem de grandeza, é o valor
médio (N impar) ou a média aritmética dos dois valores centrais (N par).
Exemplos:
f3; 4; 4; 5; 6; 8; 8; 8; 10g tem mediana 6
21
f5; 6; 7; 9; 11; 12; 13; 17g tem mediana 10
1.7.3 Moda
A moda é o valor que ocorre com mais freqüência. A moda pode não existir e, mesmo
que exista, pode não ser única.
Exemplos:
f1; 1; 3; 3; 5; 7; 7; 7; 11; 13g tem moda 7
f3; 5; 8; 11; 13; 18g não tem moda
f3; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 11; 12g tem duas modas 5 e 7 (bimodal)
1.8 Medidas de Dispersão
O grau ao qual os dados numericos tendem a dispersar-se em torno de um valor
médio chama-se variação ou dispersão dos dados.
As medidas mais comuns são: amplitude total, desvio médio, desvio padrão e
variância.
1.8.1 Amplitude Total
É a diferença entre o maior e o menor valor
Exemplos:
A amplitude total de f4; 7; 9; 11; 11; 15; 20g é 16
1.8.2 Desvio Médio
O desvio médio de X1;X2; :::;XN pode ser obtido pela seguinte fórmula
DM =
PN
i=1 j Xi ¡ ¹X
j
N
(1.6)
Exemplo:
O desvio médio de f2; 3; 6; 8; 11g é 2:8
22
Para dados agrupados (em tabelas de freqüência) o desvio padrão é computado por:
DM »=
1
N
Xm
i=1
j Xi ¡ ¹X
j fi (1.7)
Onde: xi é o ponto médio da classe i, fi é a freqüência da classe i, e m é o número
de classes.
1.8.3 Coeficiente de Variação
O efeito da variação ou dispersão em relação à média é medido pela dispersão
relativa, que é definida por:
DR =
Disp: absoluta
Media
Se a dispersão absoluta for o desvio padrão, a dispersão relativa é denominada
coeficiente de variação (CV ), que é pode ser representado por:
CV =
s
¹X
(1.8)
Obs: O Coeficiente de variação deixa de ser útil quando o ¹X
está próximo de zero.
1.8.4 Variância (¾2)
É o quadrado do desvio padrão
¾2 =
PN
i=1 (xi ¡ ¹X
)2
N
(1.9)
Observação: O desvio padrão corresponde aos dados de uma amostra é em geral
calculado com o divisor (N ¡ 1) ao invés de N, para que se tornem estimadores
não tendenciosos. Neste caso geralmente utiliza-se as letras s e s2 para representar
o desvio padrão e a variância, respectivamente.
23
1.8.5 Desvio Padrão (¾)
O desvio padrão de X1;X2; :::;XN é dado por:
¾ =
sPN
i=1 (xi ¡ ¹X
)2
N
(1.10)
Para dados agrupados o desvio padrão é computado por:
¾ »=
sPm
i=1 (xi ¡ ¹X
)2fi
N
(1.11)
1.9 Momentos, Assimetria e Curtose
1.9.1 Momentos
Se X1;X2; :::;XN são os N valores assumidos pela variável X, define-se momento
de ordem r por:
m
0
r =
Xr
1 + Xr
2 + ::: + XrN
N
=
PN
i=1 Xr
i
N
(1.12)
e o momento de ordem r centrado na média pela equação
mr =
PN
i=1
¡
Xi ¡ ¹X¢r
N
(1.13)
Observação:
¹X
= m
0
1
¾2 = m
0
2 ¡
¡
m
0
1
¢2
m1 = 0
¾2 = m2
24
Para dados agrupados os momentos podem ser calculados por:
mr =
Pm
i=1
¡
xi ¡ ¹X
¢r
fi
N
(1.14)
onde: xi é o ponto médio da classe i, fi é a freqüência e m o número de classes.
1.9.2 Assimetria
É o grau de desvio, ou afastamento da simetria, de uma distribuição.
Para distribuições assimétricas, a média tende a situar-se do mesmo lado da moda
que a cauda mais longa. Por isso, uma medida de assimetria é proporcionada pela
diferença entre a média e a moda. Ela pode ser tomada sem dimensão através de
uma divisão por uma medida de dispersão, como o desvio padrão, resultando em:
Assimetria =
¹X
¡ moda
s
(1.15)
Uma outra medida importânte é o coeficiente do momento de assimetria, que
utiliza o 3o momento centrado, expresso sob a forma não dimensional, definida por
a3 =
m3
s3 =
pm3
m32
(1.16)
1.9.3 Curtose
É o grau de achatamento de uma distribuição, e é muitas vezes considerado em
relação a uma distribuição normal como as indicadas na Figura 1.8
Fig. 1.8 – Exemplos de curtose
25
Uma medida de curtose é o coeficiente do momento de curtose definido por:
a4 =
m4
s4 =
m4
m22
(1.17)
Para a distribuição normal, a4 = 3. Por essa razão, a curtose é freqüêntemente
definida por (a4 ¡ 3), que é positivo para uma distribuição leptocúrtica, e negativo
para uma platicúrtica e nulo para uma normal.
26
CAPÍTULO 2
PROBABILIDADE
2.1 Definição de Probabilidade utilizando Freqüência Relativa
Uma da definições de probabilidade utiliza a freqüência relativa, já que as freqüências
relativas são estimativas de probabilidades. Podemos então definir a probabilidade
como a proporção (ou freqüência relativa) em uma seqüência muito grande de
experimentos.
P(e1) =
lim
n ! 1
n1
n
(2.1)
Onde:
e1 é o resultado;
n é o número total de vezes que se repete o experimento;
n1 é o número de vezes que o resultado e1 ocorre;
n1
n é portanto a freqüência relativa de e1.
Observação: Se o experimento tiver N resultados possíveis e1; e2; :::; eN então:
0 · P(ei) · 1 i = 1; 2; :::;N
P(e1) + P(e2) + ::: + P(eN) = 1 (2.2)
2.2 Experimentos aleatórios
Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos: determinísticos e aleatórios.
Os fenômenos determinísticos são aqueles em que os resultados são sempre os
mesmos, qualquer que seja o número de ocorrências verificadas.
Nos fenômenos aleatórios, os resultados não serão previsíveis, mesmo que haja um
grande número de repetições do mesmo fenômeno. Por exemplo, se considerarmos
um pomar com centenas de laranjeiras, as produções de cada planta serão diferentes
e não previsíveis, mesmo que as condições de temperatura, pressão, umidade, solo,
etc. sejam as mesmas para todas as árvores.
Experimentos ou fenômenos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias
vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
27
Exemplos:
a) Lançamento de uma moeda honesta;
b) Lançamento de um dado;
c) Lançamento de duas moedas;
d) Retirada de uma carta de um baralho completo de 52 cartas;
e) Determinação da vida útil de um componente eletrônico.
2.3 Espaço Amostral
Defini-se espaço amostral (S) ao conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento.
Nos exemplos acima, os espaços amostrais são:
a) S = fc; rg
b) S = f1; 2; 3; 4; 5; 6g
c) S = f(c; r); (c; c); (r; c); (r; r)g
d) S = fAo; :::;Ko;Ap; :::;Kp;Ac; :::;Kc;Ae; :::;Keg
e) S = ft 2 R=t ¸ 0g
Cada um dos elementos de S que corresponde a um resultado recebe o nome de
ponto amostral.
2.4 Eventos
Chamamos de evento (E) a qualquer subconjunto do espaço amostral S de um
experimento aleatório.
Assim, o evento aleatório pode ser um único ponto amostral ou uma reunião deles.
Qualquer que seja o evento E, se E ½ S, então E é um evento de S.
Se E = S, E é chamado evento certo.
Se E ½ S e E é um conjunto unitário, E é chamado evento elementar.
Se E = ; , E é chamado evento impossível.
28
Exemplos:
1. No lançamento de um dado, onde S = f1; 2; 3; 4; 5; 6g, temos:
a) A = f2; 4; 6g ½ S; logo A é um evento de S;
b) B = f1; 2; 3; 4; 5; 6g ½ S; logo B é um evento certo de S (B = S);
c) C = f4g ½ S; logo C é um evento elementar de S;
d) D = ; ½ S; logo D é um evento impossível de S.
Um evento é sempre definido por uma sentença. Assim os eventos acima podem ser
definidos pelas sentenças: a) "Obter um número par"; b) "Obter um número menor
ou igual a seis"; c) "Obter um número maior que três e menor que cinco"; d) "Obter
um número maior que seis".
2. Lançam-se dois dados. Enumerar os seguintes eventos:
a) Saída de faces iguais;
b) Saída de faces cuja soma seja igual a 10;
c) Saída de faces cuja soma seja menor que 2;
d) Saída de faces cuja soma seja menor que 15;
e) Saída de faces onde uma face é o dobro da outra.
Neste caso, o espaço amostral pode ser representado por uma tabela de dupla
entrada:
S =
D2 1 2 3 4 5 6
D1
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
Os eventos pedidos são:
29
a) A = f(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)g;
b) B = f(4; 6); (5; 5); (6; 4)g;
c) C = ; (evento impossível);
d) D = S (evento certo);
e) E = f(1; 2); (2; 1); (2; 4); (3; 6); (4; 2); (6; 3)g.
2.5 Classe dos Eventos Aleatórios
Definição: É o conjunto formado de todos os eventos (subconjuntos) do espaço
amostral. Para efeito de exemplo, consideremos o espaço amostral finito: S =
fe1; e2; e3; e4g. A classe dos eventos aleatórios é:
F(S) =
8>>>>>><
>>>>>>:
;
fe1g ; fe2g ; fe2g ; fe4g ;
fe1; e2g ; fe1; e3g ; fe1; e4g ; fe2; e3g ; fe2; e4g ; fe3; e4g ;
fe1; e2; e3g ; fe1; e2; e4g ; fe1; e3; e4g ; fe2; e3; e4g ;
fe1; e2; e3; e4g
9>>>>>>=
>>>>>>;
2.6 Definição Clássica de Probabilidade
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que
todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um
conjunto eqüiprovável.
Definimos probabilidade de um evento A (A ½ S) ao número real P(A), tal que:
P(A) =
no de resultados favoraveis a A
no de resultados possiveis
=
n(A)
n(S)
(2.3)
Exemplo:
Considerando o lançamento de um dado, pede-se:
a) A probabilidade do evento A "obter um número par na face superior".
Temos:
S = f1; 2; 3; 4; 5; 6g ) n(S) = 6
A = f2; 4; 6g ) n(A) = 3:
Logo, P(A) = 3
6 = 1
2 :
30
b) A probabilidade do evento B "obter um número menor ou igual a 6 na
face superior".
Temos:
S = f1; 2; 3; 4; 5; 6g ) n(S) = 6
B = f1; 2; 3; 4; 5; 6g ) n(B) = 6:
Logo, P(B) = 6
6 = 1:
c) A probabilidade do evento C "obter um número 4 na face superior".
Temos:
S = f1; 2; 3; 4; 5; 6g ) n(S) = 6
C = f4g ) n(C) = 1:
Logo, P(C) = 1
6 :
d) A probabilidade do evento D "obter um número maior que 6 na face
superior".
Temos:
S = f1; 2; 3; 4; 5; 6g ) n(S) = 6
D = ; ) n(D) = 0:
Logo, P(D) = 0
6 = 0:
Exercícios Complementares:
1 - No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter soma
igual a 5.
2 - Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta de
um baralho de 52 cartas?
3 - Retira-se uma carta de um baralho completo de 52 cartas.
a) Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros?
b) Qual a probabilidade de sair um rei ou uma carta de espadas?
4 - No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número
não inferior a 5?
5 - São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma
carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade
de tiramos uma dama e um rei, não necessariamente nessa ordem?
31
6 - Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade de a
soma ser 10 ou maior que 10.
2.7 Operações com Eventos Aleatórios - Teoria dos Conjuntos
Consideremos um espaço amostral finito S = fe1; e2; e3; :::; eng. Sejam A e B dois
eventos de F(S). As seguintes operações são definidas:
2.7.1 União de conjuntos
Definição: A [ B = fei 2 S = ei 2 A ou ei 2 Bg ; i = 1; : : : ; n. Portanto, o
evento união é formado pelos pontos amostrais que pertençam a pelo menos um
dos conjuntos. A união pode ser vista na Figura 2.1.
Fig. 2.1 – União dos conjuntos A e B
Observação:
1) A [ B = B [ A
2) A [ A = A
3) A [ Á = A
4) Se A ½ B ) A [ B = B (em particular A [ S = S).
32
A representação da união de n eventos A1;A2; :::;An (A1 [A2 [:::[An) é dada por:
[n
i=1
Ai (2.4)
2.7.2 Intersecção de conjuntos
Definição: A\B = fei 2 S = ei 2 A e ei 2 Bg ; i = 1; : : : ; n. Portanto, o evento
intersecção é formado pelos pontos amostrais que pertençam simultaneamente aos
eventos A e B. A intersecção pode ser vista na Figura 2.2.
Fig. 2.2 – Intersecção dos conjuntos A e B
Observação:
1) A \ B = B \ A
2) A \ A = A
3) A \ Á = Á
4) Se A ½ B ) A \ B = A (em particular A \ S = A)
5) (A \ B) \ C = A \ (B \ C).
A representação da intersecção de n eventos A1;A2; :::;An (A1 \A2 \:::\An) é dada
33
por:
\n
i=1
Ai (2.5)
2.7.3 Complemento
Definição: S ¡A = A = Ac = fei 2 S = ei =2 Ag ; i = 1; : : : ; n. O complemento de
um evento A é, portanto, o evento contendo todos os resultados no espaço amostral
S que não pertençam a A. O complemento de A pode ser visto na Figura 2.3.
Observação:
Fig. 2.3 – Complemento do conjunto A
1) (Ac)c = A
2) A [ Ac = S
3) Ác = S
4) A \ Ac = Á
5) Sc = Á.
2.7.4 Eventos Mutuamente Exclusivos ou Disjuntos
Definição: Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos ou disjuntos se A e B
não puderem ocorrer juntos, ou seja a realização de um exclui a realização do outro.
Segue que A e B são disjuntos se A \ B = Á.
34
Exemplo: Lançam-se duas moedas. Sejam os eventos
A: saída de faces iguais e
B: saída de cara na primeira moeda.
Determinar os eventos:
A [ B, A \ B, A, B,(A [ B),(A \ B), (A \ B), (A [ B), B ¡ A, A ¡ B, A \ B, e
B \ A.
Resolução:
S = f(c; c); (c; r); (r; c); (r; r)g
A = f(c; c); (r; r)g
B = f(c; c); (c; r)g :
A [ B = f(c; c); (c; r); (r; r)g
A \ B = f(c; c)g
A = f(c; r); (r; c)g
B = f(r; c); (r; r)g
(A [ B) = f(r; c)g
(A \ B) = f(c; r); (r; c); (r; r)g
(A \ B) = f(r; c)g
(A [ B) = f((c; r); (r; c); (r; r)g
B ¡ A = f(c; r)g
A ¡ B = f(r; r)g
A \ B = f(c; r)g
B \ A = f(r; r)g :
Obs: Note que (A [ B) = (A \ B) e (A \ B) = (A [ B)
2.8 Definição Axiomática de Probabilidade
Para um dado experimento, é necessário atribuir para cada evento A no espaço
amostral S um número P(A) que indica a probabilidade de A ocorrer. Para satisfazer
a definição matemática de probabilidade, este número P(A) deve satisfazer três
axiomas específicos:
Axioma 1: Para qualquer evento A, P(A) ¸ 0
Axioma 2: P(S) = 1
35
Axioma 3: Para qualquer seqüência infinita de eventos disjuntos A1;A2; :::
P(
1[
i=1
Ai) =
X1
i=1
P(Ai) (2.6)
A definição matemática de probabilidade pode agora ser dada como segue:
A distribuição de probabilidade, ou simplesmente a probabilidade, no espaço
amostral S é uma especificação de números P(A) que satisfazem os axiomas 1, 2, e
3.
Teorema 1: P(Á) = 0
Teorema 2: Para qualquer seqüência finita de eventos disjuntos A1;A2; :::;An
P(
[n
i=1
Ai) =
Xn
i=1
P(Ai) (2.7)
Teorema 3: Para qualquer evento A,
P(Ac) = 1 ¡ P(A) (2.8)
Teorema 4: Para qualquer evento A, 0 · P(A) · 1
Teorema 5: Se A ½ B, então P(A) · P(B)
Teorema 6: Para qualquer dois eventos A e B
P(A [ B) = P(A) + P(B) ¡ P(A \ B) (2.9)
Observação:
1.
P(A1 [ A2 [ A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3)
= ¡[P(A1 \ A2) + P(A2 \ A3) + P(A1 \ A3)]
= +P(A1 \ A2 \ A3) (2.10)
36
2. Se dois eventos são mutuamente exclusivos, então P(A [ B) = P(A) + P(B).
2.9 Eventos Independentes
Suponha que dois eventos A e B ocorram independentes um do outro no sentido que
a ocorrência ou não de um deles tenha nenhuma relação, e nenhuma influência na
ocorrência ou na não ocorrência do outro. Nessas condições
P(A \ B) = P(A) ¢ P(B) (2.11)
Definição: Dois eventos são independentes se P(A \ B) = P(A) ¢ P(B)
Teorema 1: Se dois eventos A e B são independentes, então os eventos A e Bc
tambem são independentes.
Exercícios Complementares:
1 - De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta
do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a
carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus?
2 - Uma urna A contém 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B
contém 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém 2 bolas
brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a
probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira
urnas serem respectivamente, branca, preta e verde?
3 - De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem
reposição. Qual a probabilidade de a primeira ser o ás de paus e a segunda
ser o rei de paus?
4 - São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma
carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade
de tiramos uma dama e um rei, não necessariamente nessa ordem?
5 - Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade de a
soma ser 10 ou maior que 10.
6 - A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a
37
de sua mulher é de 2/3. Determinar a probabilidade de que daqui a 30
anos:
a) ambos estejam vivos;
b) somente o homem esteja vivo;
c) somente a mulher esteja viva;
d) nenhum esteja vivo;
e) pelo menos um esteja vivo.
7 - Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2; P(B) = p; P(A [ B) = 0,6.
Calcular p considerando A e B:
a) Mutuamente exclusivos
b) Independentes.
2.10 Análise Combinatoria
Definição: Defini-se fatorial de n por n!
n! = n(n ¡ 1)(n ¡ 2)(n ¡ 3):::1
Por definição 0! = 1
2.10.1 Permutação
Amostra sem reposição: Uma permutação de n objetos diferentes, tomados r de
cada vez, é um arranjo de r dos n objetos, levando-se em consideração a ordem de
sua disposição.
O número de permutações de n objetos, tomados r de cada vez é representado por
Pr
n e calculado por
Pr
n = n(n ¡ 1)(n ¡ 2):::(n ¡ r + 1) =
n!
(n ¡ r)!
(2.12)
Em particular Pn
n = n!
O número de permutações de n objetos distribuidos em grupos dos quais n1 são
38
iguais, n2 são iguais, ... nk são iguais, é:
n!
n1!n2!:::nk!
onde n1 + n2 + ::: + nk = n (2.13)
Amostragem com Reposição: Considere uma amostragem com reposição, como
por exemplo uma urna contendo n bolas e se selecione k bolas, uma de cada vez,
repondo a bola na urna após o evento. O espaço amostral S será composto por nk
elementos.
Exemplo:
1. Suponha que um clube possua 25 membros, e que um presidente e um secretário
serão escolhidos entre os membros. De quantas maneiras estes cargos podem ser
preenchidos?
Solução: Como as posições podem ser preenchidas, escolhendo-se primeiro o
presidente dentre os 25 membros, e depois o secretário dentre os 24 restantes,
o número total de maneiras que os cargos poderão ser preenchidos será P2
25 =
(25)(24) = 600.
2. Suponha que seis livros diferentes serão arrumados em uma estante. O número de
possíveis permutações dos livros é 6! = 720.
3. O número de permutações da palavra estatistica é 11!
3!2!2!2!1!1! = 831:600.
2.10.2 Combinações
Uma combinação de n objetos tomados r de cada vez, é uma escolha dos n objetos,
não se levando em consideração a ordem de sua posição. O número de combinações
de n objetos, tomados k de cada vez, é representado por Ck
n ou
³nk
´
.
O cálculo (ou fórmula) para combinações pode ser obtido através de uma permutação
que pode ser construida da seguinte maneira: Sabe-se que o número de permutações
de n elementos tomados k de cada vez é Pk
n . Primeiro uma combinação particular de
k elementos é selecionada. Cada diferente permutação desses k elementos levará
a uma permutação na lista. Como há k! permutações desses k elementos, esta
combinação particular produzirá k! permutações na lista. Quando uma combinação
diferente de k elementos é selecionada, k! outras permutações na lista são obtidas.
Como cada combinação de k elementos produzirá k! permutações, o número total
39
de permutações na lista será de k! ¢ Ck
n, isto é Pk
n = k! ¢ Ck
n. Portanto
Ck
n =
Pk
n
k!
=
n!
k!(n ¡ k)!
(2.14)
2.11 Probabilidade Condicional
Se A e B são dois eventos, a probabilidade de A ocorrer, depois de B ter
acontecido, é representada por P(A=B) (probabilidade de A dado B) e é denominada
probabilidade condicional de A, depois de B ter ocorrido.
Neste caso, a probabilidade do evento A muda após se ter aprendido que o evento
B ocorreu. Como se sabe que o evento B ocorreu, então sabemos que o resultado
do evento A será um dos incluídos em B. Então, para calcular a probabilidade
que A ocorrerá, devemos considerar o conjunto dos possíveis resultados de B que
também resultariam na ocorrência de A. Este conjunto é precisamente A \ B. É
portanto natural definir-se a probabilidade condicional P(A=B) como a proporção
da probabilidade total P(B) que é representadoa pela probabilidade P(A \ B).
Portanto, tem-se a seguinte definição:
P(A=B) =
P(A \ B)
P(B)
dado P(B) > 0 (2.15)
Se P(B) = 0 a P(A=B) não é definida.
Probabilidade Condicional para Eventos Independentes
Se A e B forem independentes, então P(A \ B) = P(A) ¢ P(B). Logo,
P(A=B) =
P(A) ¢ P(B)
P(B)
= P(A) (2.16)
Da mesma forma,
P(B=A) =
P(B) ¢ P(A)
P(A)
= P(B) (2.17)
Teorema: Suponha que A1;A2; :::;An sejam quaisquer eventos tais que
40
P(A1) > 0; P(A1 \ A2) > 0; :::; P(A1 \ A2 \ A3::: \ An¡1) > 0. Então
P(A1 \ A2 \ ::: \ An) =
= P(A1) ¢ P(A2=A1) ¢ P(A3=A1 \ A2):::
P(An=A1 \ A2 \ :::An¡1): (2.18)
Exemplo:
Suponha que 4 bolas sejam selecionadas, uma de cada vez, sem reposição, de uma
urna contendo v bolas vermelhas e a azuis. (v ¸ 2; a ¸ 2). Qual a probabilidade de
se obter uma sequência de resultados vermelho, azul, vermelho, azul?
vj : uma bola vermelha é retirada na j-ésima vez
aj : uma bola azul é retirada na j-ésima vez
onde j=1,2,3,4
P(v1; a2; v3; a4) =
= P(v1) ¢ P(a2=v1) ¢ P(v3=v1 \ a2) ¢ P(a4=v1 \ a2 \ v3)
= v
v+a ¢ a
v+a¡1 ¢ v¡1
v+a¡2 ¢ a¡1
v+a¡3
2.12 Probabilidade Total
Seja S o espaço amostral de um experimento, e considere k eventos A1;A2; : : : ;Ak
em S tal que A1;A2; : : : ;Ak sejam disjuntos e
Sn
i=1 Ai = S. Diz-se, etnão, que estes
eventos formam uma partição de S.
Se os eventos A1;A2; :::;Ak formam uma partição de S, e B é qualquer outro evento
em S, então:
B = (A1 \ B) [ (A2 \ B) [ ::: [ (Ak \ B).
Como os k eventos do lado direito da equação acima são disjuntos:
P(B) =
Xk
j=1
P(Aj \ B) (2.19)
41
Mas P(Aj \ B) = P(Ai) ¢ P(B=Aj) onde j = 1; 2; :::; k. Então
P(B) =
Xk
j=1
P(Aj) ¢ P(B=Aj) (2.20)
De forma a apresentar a fórmula para a probabilidade total e a fórmula de
Bayes, vamos supor que exista numa imagem duas classes de cobertura terrestre,
denominadas A1 e A2, e que os pixels desta imagem serão classificados como
pertencentes a A1 ou A2 segundo o valor de alguma característica (por exemplo,
nível de cinza). Suponha qua a probabilidade de ocorrência da classe A1 seja P(A1)
e a probabilidade de ocorrência da classe A2 seja P(A2). Obviamente pixels da
classe A1 podem ser erroneamente classificados como sendo da classe A2, e vice
versa. Designemos estas probabilidades, P(CA2=A1) e P(CA1=A2) respectivamente.
Suponha que seja tomado aleatoriamente um pixel desta imagem e classificado,
segundo o valor da característica estudada. Deseja-se saber a probabilidade deste
pixel ser classificado como A1.
Aqui, temos que considerar o seguinte: o pixel pode ser classificado em A1(CA1) e ser
realmente de A1 ou pode ser classificado em A1(CA1) e ser realmente de A2. Então
podemos escrever que:
CA1 = (CA1 \ A1) [ (CA1 \ A2)
Logo,
P(CA1) = P [(CA1 \ A1) [ (CA1 \ A2)]
como os eventos são mutuamente exclusivos, temos:
P(CA1) = P(CA1 \ A1) + P(CA1 \ A2)
Uma vez que os eventos CA1 e A1 (i = 1; 2) não são independentes, vem:
P(CA1) = P(CA1=A1)P(A1) + P(CA1=A2)P(A2)
42
ou
P(CA1) =
X
i
P(CA1 \ Ai) =
X
i
P(CA1=Ai)P(Ai) (2.21)
A expressão da equação 2.21 acima é normalmente chamada de fórmula para a
probabilidade total.
2.13 Teorema de Bayes
Sejam os eventos A1;A2; :::;Ak que formam uma partição do espaço S tal que
P(Aj) > 0 para todo j = 1; 2; :::; k, e seja B qualquer evento tal que P(B) > 0.
Então, para i = 1; 2; :::; k, temos:
P(Ai=B) =
P(Ai)P(B=Ai)
Pk
j=1 P(Aj)P(B=Aj)
(2.22)
Prova: Pela definição de probabilidade condicional,
P(Ai=B) =
P(Ai \ B)
P(B)
(2.23)
O numerador da equação 2.22 é igual a P(Ai \ B) e o denominador é igual a P(B)
(pela fórmula para probabilidade total).
Imaginemos agora uma situação onde um pixel é classificado como A1. Quer-se
saber qual a probabilidade dele ser realmente um pixel da classe A1. Note que aqui é
fornecida uma informação sobre o resultado da classificação do pixel, isto é, é dito que
ele foi classificado como pertencente à classe A1 dado que o mesmo foi classificado
em A1.
Em outras palavras, quer-se
P(A1=CA1) =
P(A1 \ CA1)
P(CA1)
(2.24)
Note que o denominador da expressão 2.24 acima é dado em 2.21, podendo-se
43
expressar
P(A1=CA1) =
PP(CAi=A1)P(A1)
i P(CA1=Ai)P(Ai)
(2.25)
Esta formulação pode obviamente ser generalizada para uma situação onde os
eventos A1;A2; :::;An formam um sistema completo de resultados de alguma
operação e onde K denota um resultado arbitrário desta operação. Neste caso tem-se
que:
P(Ai=K) =
P(Ai \ K)
P(K)
=
PP(K=Ai)P(Ai)
P(K=Ai)P(Ai)
(2.26)
que é conhecida como a fórmula de Bayes e que tem aplicações diversas na área de
sensoriamento remoto.
A seguir é dada uma aplicação específica utilizada em Classificação.
2.13.1 Teoria de Bayes
Suponha que seja medida alguma característica x de uma cena (por exemplo, o
nível de cinza de cada pixel) e que tenha que se decidir a qual de duas classes (por
exemplo, vegetação ou solo) um pixel pertence. Este é um problema unidimensional,
de classificação em duas classes, no domínio de característica da imagem. Se um
número grande de pixels está disponível, que pode ser considerado representativo
de cada classe (isto é, dados de treinamento) podemos calcular um histograma da
frequência relativa da característica para cada classe, conforme mostrado na Figura
2.4.
Considere-as como aproximações das funções densidade de probabilidade (f.d.p.)
contínuas de uma amostra infinita de dados. Essas funções densidade de
probabilidade condicionais, P(x=A1) e P(x=A2) tem área unitária e descrevem a
probabilidade de um pixel ter valor x da característica, dado que ele está na classe A1
ou na classe A2, respectivamente. Cada f.d.p. pode ser delineada pela probabilidade
a priori P(Ai) que a classe Ai ocorra na área de interesse na imagem.
Estas funções de probabilidade delineadas P(x=Ai)P(Ai) representam a
probabilidade que um pixel tenha o valor x na característica e está na classe Ai. Em
44
Fig. 2.4 – A probabilidade a priori nas f.d.p. das classes
sensoriamento remoto, estas probabilidades a priori podem ser estimadas através de
fontes externas de informação sobre a cena, tais como pesquisas de campo, mapas
ou dados históricos.
Para se tomar uma decisão de classificação para um pixel, precisamos conhecer
as probabilidades a posteriori que o pixel pertença à cada uma das classes de
treinamento, dado que o pixel tem valor x na característica. Esta probabilidade
P(Ai=x) pode ser calculada com a regra de Bayes
P(Ai=x) =
P(x=Ai)P(Ai)
P(x)
(2.27)
Onde
P(x) =
X2
1
P(x=Ai)P(Ai) (2.28)
Uma regra de decisão pode agora ser formada com as probabilidades a posteriori da
equação 2.27. Se um pixel tem valor x na característica, uma abordagem intuitiva
satisfatória é designar o pixel à classe A1 se P(A1=x) é maior que P(A2=x).
Semelhantemente, o pixel seria designado à classe A2 se P(A2=x) é maior que
P(A1=x). Sendo P(x) igual para as duas classes na equação 2.28 ela pode ser ignorada
numa comparação dos dois e podemos escrever a regra de decisão de Bayes
45
- um pixel pertence à classe A1 se P(x=A1)P(A1) > P(x=A2)P(A2)
- um pixel pertence à classe A2 se P(x=A2)P(A2) > P(x=A1)P(A1)
Numa situação atípica onde as duas probabilidades a posteriori são extamente iguais,
isto é
P(A1=x) = P(A2=x)
ou
P(x=A1)P(A1) = P(x=A2)P(A2)
uma decisão não pode ser tomada a partir das probabilidades de classe. Um processo
de desempate deve ser empregado, tal como escolher aleatoriamente classe 1 ou
classe 2. Pode ser mostrado que a regra de decisão de Bayes minimiza a probabilidade
média de erro sobre todo o conjunto de dados classificados, se todas as classes tem
f.d.p. normal.
Na prática, as probabilidades P(Ai) são difíceis de ser obtidas e consequentemente
supõe-se que elas sejam iguais. Obviamente resultados mais exatos seriam obtidos se
elas pudessem ser estimadas a partir de dados externos. Se, por exemplo, o objetivo
é determinar a proporção dos tipos de cultura plantados numa estação particular,
a partir de imagens do Landsat de uma área agrícola, podemos sensatamente
estabelecer as probabilidades a priori iguais às estimativas históricas da porcentagem
de cada cultura na área.
46
CAPÍTULO 3
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES
3.1 Variável Aleatória
Definição: Considere um experimento para o qual o espaço amostral é denotado
por S. Define-se variável aleatória como uma função que associa um valor real a
cada elemento do espaço amostral.
X : S ¡! <
Representamos as variáveis aleatórias por letras maiúsculas e suas ocorrências por
letras minúsculas.
Exemplo:
Suponha o experimento "lançar três moedas". Seja X: número de ocorrências da
face cara . O espaço amostral do experimento é:
S = f(c; c; c); (c; c; r); (c; r; c); (c; r; r); (r; c; c); (r; c; r); (r; r; c); (r; r; r)g :
Se X é o número de caras, X assume os valores 0, 1, 2 e 3. Podemos associar
a esses números eventos que correspondem a nenhuma, uma, duas ou três caras
respectivamente, como segue:
X Evento Correspondente
0 A1 = f(r; r; r)g
1 A2 = f(c; r; r); (r; c; r); (r; r; c)g
2 A3 = f(c; c; r); (c; r; c); (r; c; c)g
3 A4 = f(c; c; c)g
3.2 Tipos de Variáveis Aleatórias, Função de Probabilidade e Função
Densidade de Probabilidade
Definição: Seja X uma variável aleatória (v:a:). Se o número de valores possíveis
de X (isto é o seu contradomínio), for finito ou infinito enumerável, denominaremos
X de variável aleatória discreta. Isto é, existe um conjunto finito ou enumerável
fx1; x2; :::g ½ < tal que X(s) ½ fx1; x2; :::g 8s ½ S.
Definição: Seja X uma variável aleatória discreta. Portanto, o contradomínio de
X será formado por um número finito ou enumerável de valores x1; x2; : : : . A cada
47
possível resultdo xi, associaremos um número p(xi) = P(X = xi), i = 1; 2; 3; :::,
denominado probabilidade de xi. Os números p(xi) devem satisfazer às seguintes
condições:
a) p(xi) ¸ 0 8i;
b)
P1
i=1 p(xi) = 1
A função p, definida acima, é denominada função de probabilidade da variável
aleatória X. A coleção de pares [xi; p(xi)] i = 1; 2; : : : , é denominada distribuição
de probabilidade de X.
Exemplos:
a) Lançam-se dois dados. Seja a v.a. X: soma das faces. Determinar a
distribuição de probabilidade da variável aleatória X (Figura 3.1).
X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p(X) 1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
Fig. 3.1 – Gráfico de P(x) para dois dados
b) Considere o experimento no qual uma moeda é jogada dez vezes e seja X
ser o número de caras que são obtidas. Neste experimento, os possíveis
48
valores de X são 0,1, 2, ..., 10, e
P(X = x) =
³n
x
´ 1
210 ; x = 0; 1; 2; : : : ; 10: (3.1)
Definição: Seja X uma variável aleatória. Suponha que <X, o contradomínio de X,
seja um intervalo ou uma coleção de intervalos. Então diremos que X é uma variável
aleatória contínua.
Definição: Seja X uma variável aleatória contínua. A função densidade de
probabilidade f, indicada abreviadamente por f.d.p., é uma função f que satisfaz
às seguintes condições:
a) f(x) ¸ 0 x 2 <X;
b)
R
<X
f(x)dx = 1
Além disso, definimos, para qualquer c < d (em <X)
P(c < x < d) =
Z d
c
f(x)dx
Obs:
a) P(c < x < d) representa a área sob a curva, como exemplificado no
gráfico da Figura 3.2, da f.d.p. f, entre x = c e x = d.
b) Constitui uma consequência da descrição probabilística de X que, para
qualquer valor especificado de X, digamos x0, teremos P(X = x0) = 0,
porque P(X = x0) =
R x0
x0
f(x)dx = 0
Exemplo:
a) Suponhamos que a v.a. X seja contínua. Seja a f.d.p. f dada por:
f(x) =
(
2x 0 < x < 1;
0 caso contrário.
49
Fig. 3.2 – Gráfico de fdp de f
Evidentemente, f(x) ¸ 0 e
R 1
¡1 f(x)dx =
R 1
0 2xdx = 1. Para calcular
P(X · 1=2) deve-se calcular
R 1
2
0 (2x)dx = 1
4 .
b) Seja X a duração de vida (em horas) de um certo tipo de lâmpada.
Admitindo que X seja uma variável aleatória contínua, suponha que a
f.d.p. f de X seja dada por:
f(x) =
(
a
x3 1500 · x · 2500;
0 caso contrário.
Para calcular a constante a, recorre-se à condição
R 1
¡1 f(x)dx = 1, que
significa, neste caso
R 2500
1500
a
x3 dx = 1, obtendo-se a = 7:031:250.
3.3 Função de Distribuição Acumulada
Definição: A função de distribuição da variável aleatória X, representada por FX
ou simplesmente por F, é definida por:
FX(x) = P(X · x) (3.2)
Observação:
a) A função de distribuição de X é também frequentemente chamada de
função de distribuição acumulada de X.
50
b) A função FX(x) é não-decrescente quando x aumenta, isto é, se x1 < x2,
então FX(x1) · FX(x2).
c) Para qualquer valor de x
P(X > x) = 1 ¡ FX(x) (3.3)
d) Para quaisquer valores x1 e x2, tais que x1 < x2,
P(x1 < X · x2) = FX(x2) ¡ FX(x1) (3.4)
Teoremas:
a) Se X for uma variável aleatória discreta,
FX(x) =
X
j
p(xj);
onde o somatório é estendido a todos os índices j que satisfaçam à
condição xj · x.
b) Se X for uma variável aleatória contínua com f.d.p. f,
FX(x) =
Z x
¡1
f(s)ds:
Exemplos:
a) Suponhamos que a v.a. X tome os três valores 0,1, e 2, com probabilidades
1/3, 1/6 e 1/2, respectivamente. Então:
F(x) =
8>>>><
>>>>:
0 se x < 0;
1
3 se 0 · x < 1;
1
2 se 1 · x < 2;
1 se 0 · x ¸ 2:
O gráfico de F está apresentado na Figura 3.3.
51
Fig. 3.3 – Gráfico F
b) Suponha que X seja uma variável contínua com f.d.p.
f(x) =
(
2x 0 < x < 1;
0 caso contrário.
Portanto, a f.d. é dada por:
F(x) =
8><
>:
0 x · 0; R x
0 (2s)ds = x2 0 < x · 1;
1 x > 1:
O gráfico está apresentado na Figura 3.4.
3.4 Distribuições Bivariadas
Em alguns experimentos, é necessário considerar as propriedades de 2 ou mais
variáveis simultaneamente. A distribuição de probabilidade conjunta de duas v:a:
é denominada uma distribuição bivariada.
3.4.1 Distribuições Conjuntas Discretas
Suponha que um certo experimento envolve duas v:a: X e Y , cada qual com uma
distribuição discreta.
A função de probabilidade conjunta de X e Y é definida pela função p tal que
52
Fig. 3.4 – Meyer, página 75.
qualquer ponto (x; y) no plano xy,
p(x; y) = P(X = x e Y = y) (3.5)
Observação:
a)
P
p(xi; yi) = 1.
b) Se X e Y forem independentes
p(xi; yi) = P(X = xi) ¢ P(Y = yi)
Exemplo:
Suponha que a variável aleatória X possa assumir somente of valores 1, 2, e 3, que
a variável aleatória Y possa assumir somente os valores 1, 2, 3 e 4, e que a função
de probabilidade conjunta de X e Y seja dada pela tabela:
Y 1 2 3 4
X
1 0,1 0 0,1 0
2 0,3 0 0,1 0,2
3 0 0,2 0 0
A função de probabilidade conjunto é mostrada na Figura 3.5. Deseja-se determinar:
53
a) P(X ¸ 2 e Y ¸ 2);
b) P(X = 1).
Fig. 3.5 – Degroot, página 93.
a) Somando-se p(x; y) para todos os valores de x ¸ 2 e y ¸ 2, tem-se:
P(X ¸ 2 e Y ¸ 2) = p(2; 2)+p(2; 3)+p(2; 4)+p(3; 2)+p(3; 3)+p(3; 4) =
0; 5
b) P(X = 1) =
P4
y=1 p(1; y) = 0; 2.
3.4.2 Distribuições Conjuntas Contínuas
É dito que duas v:a: X e Y possuem uma distribuição conjunta contínua se
existe uma função f não negativa, definida sobre o plano xy, tal que para qualquer
subconjunto A do plano
P [(x; y) 2 A] =
Z
A
Z
f(x; y)dxdy (3.6)
A função f é denominada função densidade de probabilidade conjunta de X
e Y . Esta função deve satisfazer
f(x; y) ¸ 0 para ¡1 < x < 1 e ¡1 < y < 1
54
e
Z 1
¡1
Z 1
¡1
f(x; y)dxdy = 1 (3.7)
A probabilidade que o par (X; Y ) pertença a uma região do plano xy pode ser
encontrada integrando a f.d.p. conjunta sobre esta região. A Figura 3.5 mostra um
exemplo de f.d.p. conjunta.
Fig. 3.6 – Degroot, página 95.
3.5 Distribuições Marginais
Denomina-se função densidade de probabilidade marginal de X à função
densidade de probabilidade de X quando ela é obtida através da f.d.p. conjunta
de X e Y .
Caso Discreto
Se X e Y são v:a: discretas com f.p. conjunta p(x; y), então a f.p. marginal de X é
obtida por:
PX(x) = P(X = x) =
X
y
p(x; y) (3.8)
55
Similarmente, a f.p. marginal de Y é:
PY (y) = P(Y = y) =
X
x
p(x; y) (3.9)
Exemplo:
Suponha que a variável aleatória X possa assumir somente of valores 1, 2, e 3, que
a variável aleatória Y possa assumir somente os valores 1, 2, 3 e 4, e que a função
de probabilidade conjunta de X e Y seja dada pela tabela:
Y 1 2 3 4 Marginal
X de X
1 0,1 0 0,1 0 0,2
2 0,3 0 0,1 0,2 0,6
3 0 0,2 0 0 0,2
Marginal de Y 0,4 0,2 0,2 0,2 1,0
A f.p. marginal de X é determinada somando-se os valores de cada linha da tabela,
e é dada na última coluna da tabela. Analogamente a f.p. marginal de Y é dada na
última linha da tabela.
Caso Contínuo
Se X e Y possuem uma distribuição conjunta com f.d.p. conjunta f(x; y), então a
f.d.p. marginal fX(x) de X é obtida por:
fX(x) =
Z 1
¡1
f(x; y)dy (3.10)
Similarmente, a f.d.p. marginal de Y é obtida por:
fY (y) =
Z 1
¡1
f(x; y)dx (3.11)
Observação
56
Se X e Y forem independentes
P(x; y) = PX(x) ¢ PY (y) (Caso discreto)
f(x; y) = fX(x) ¢ fY (y) (Caso contínuo)
Exemplo:
Suponha que X e Y possuam um distribuição contínua conjunta, cuja p.d.f. conjunta
seja definida por:
f(x; y) =
(
3
2y2 0 · x · 2 e 0 · y · 1;
0 caso contrário.
a) Determine as p.d.f.´s marginais de X e Y ;
b) X e Y são independentes?
c) Determine P(X ¸ 1
2 ) e P(Y ¸ 1
2 )..
Solução:
a) Tem-se que:
...