Conceito de Retas e Sistemas de Coordenadas

Aula 4.a – Conceito de Retas e Sistemas de Coordenadas

Introdução:

Uma reta pode ser definida como um elemento geométrico linear em uma direção com extensão infinita:

[pic 1]

Um exemplo de reta que podemos tomar como referência é a reta numérica do conjunto dos números reais .[pic 2]

[pic 3]

Em uma reta, toda posição pode ser representada por um valor numérico, e no caso da reta de conjunto de números reais, cada posição da reta corresponde a um valor de número real:

[pic 4][pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

Esta atribuição de um valor numérico a uma posição na reta chamamos de coordenada.

No caso de uma reta, por se tratar de um elemento geométrico linear (de apenas uma dimensão), cada posição só pode ser associada a um único valor referente a esta reta.

Mais adiante, veremos nos estudos de plano e espaço que as coordenadas farão referência a mais de um elemento geométrico linear.

Semi-Reta: É parte da reta que se inicia em um ponto (obviamente pertencente a uma reta) e que assume um sentido:

[pic 9]

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Toda Semi-Reta está contida em uma reta, portanto neste caso:

[pic 11]

Segmento de Reta: É parte da reta que é delimitada por dois pontos não coincidentes pertencentes a reta:

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

Podemos afirmar que o Segmento de Reta está contido em uma reta, bem como está contido nas Semi-Retas  (que parte do ponto A e segue a reta r no sentido E) e  (que parte do ponto B e segue a reta r no sentido oposto ao E).[pic 16][pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

Considera-se também que o segmento  é o trecho comum das duas semi-retas  e :[pic 20][pic 21][pic 22]

[pic 23]

Eixo: É uma reta que assume um sentido definido e um ponto de referência chamado origem:

[pic 24]

Na origem de um eixo, admite-se que a coordenada assuma o valor zero (x=0).

[pic 25]

Para os valores a partir da origem (Ponto O) que estiverem no sentido determinado para o eixo, os valores de coordenada serão positivos, e no sentido oposto ao determinado para o eixo, negativos.

Axiomas sobre Retas:

1.  Entre dois pontos quaisquer não coincidentes só existe uma e apenas uma reta capaz de conter estes dois pontos.

1.  A cada par de pontos contidos por uma reta, existe um segmento de reta delimitado por estes dois pontos, com uma distância definida e sempre positiva.

[pic 26]

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1. A distância entre dois pontos é sempre modular, ou seja, a distância do ponto A para o ponto B é a mesma distância do ponto B para o ponto A.

[pic 28]

Conceito de Ponto Médio:

Seja um segmento de reta formado pelas delimitações dos pontos X e Y na reta r, formando o segmento XY.

[pic 29]

O ponto médio M, cuja coordenada  representa o centro do segmento de reta que liga os pontos X a Y pode ser calculado da seguinte forma:[pic 30]

[pic 31]

Análise de Pontos e Retas em um Plano Cartesiano (R²):

Vimos que em uma reta, os pontos estão dispostos linearmente e cada ponto possui uma coordenada referente a sua posição no eixo.

O plano que iremos analisar, denominado Plano Cartesiano, é formado pela combinação de dois eixos ortogonais, e cada ponto ponto possui uma coordenada associada ao seu posicionamento em relação a caixa eixo: