Cálculo II Segunda Prova – Resolução

Cálculo II

Segunda Prova – Resolução

QUESTÃO 1

A figura apresenta o gráfico da função [pic 1] e o de sua derivada [pic 2].

[pic 3]

Com base nessas informações: (a) determine a função [pic 4]; (b) estabeleça a equação da tangente ao gráfico de [pic 5] no ponto de abscissa [pic 6]; (c) escreva a equação da tangente ao gráfico de [pic 7]no ponto de abscissa [pic 8] e desenhe esta reta no gráfico acima.

Solução

1. Para determinar a função [pic 9], fazemos:

[pic 10].

Como, pelo gráfico, [pic 11], temos: [pic 12]. Com isso,

[pic 13].

1. A equação da tangente ao gráfico de [pic 14]no ponto de abscissa [pic 15] é da forma [pic 16].

Como [pic 17]e [pic 18], a equação da tangente fica sendo:

[pic 19].

1. A equação da tangente ao gráfico de [pic 20]no ponto de abscissa [pic 21] é da forma [pic 22]. Considerando que [pic 23], [pic 24] e [pic 25], a equação da tangente fica sendo:

[pic 26].

QUESTÃO 2

A velocidade de uma partícula que se move sobre uma reta horizontal é dada, em metros por segundo, pela função [pic 27]. Com base nessas informações: (a) determine o deslocamento dessa partícula durante o intervalo dado; (b) estabeleça em que intervalo a partícula se move para a esquerda; (c) calcule a distância percorrida pela partícula durante os oito primeiros segundos; (d) esboce o gráfico da função aceleração na tela abaixo, onde já está o gráfico da função velocidade.

[pic 28]

Solução

Começamos por determinar a função posição e a função aceleração. Para achar a função posição, fazemos: [pic 29]. Por seu lado, a função aceleração é: [pic 30].

Determinamos, também, a variação de sinal da função velocidade:

[pic 31] Com isso, podemos afirmar que [pic 32] para [pic 33] e  [pic 34] para [pic 35].

1. O deslocamento dessa partícula durante os 8 segundos do intervalo é:

[pic 36].

1. A partícula se move no para a esquerda para  [pic 37], intervalo em que [pic 38].
2. A distância percorrida por essa partícula durante os oito primeiros segundos é:

[pic 39]

1. A função aceleração é [pic 40]. O gráfico é a reta da figura.

QUESTÃO 3

Na figura abaixo, está sombreada a região, limitada pelo gráfico da função [pic 41] e pelo gráfico de sua derivada.

[pic 42]

Com base nessas informações: (a) desenhe nessa figura um elemento de área dessa região; (b) escreva a medida da área desse elemento; (c) calcule a medida da área dessa região.

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