Estudo de Raízes de Equações

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA

CURSO DE ENGENHARIA DE PRODUÇÃO MECÂNICA

CÁLCULO NUMÉRICO

BÁRBARA MONTEIRO DE PAULA – 385338

JULIA FARIAS BARBOSA – 392055

TAYNARA ALVES - 389199

Estudo das raízes de equações

FORTALEZA

2017

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Sumário

1. Introdução.........................................................................................3

2. Desenvolvimento

2.1. Embasamento teórico de métodos para encontrar raízes de funções

2.1.1. Método da bissecção ...................................................................4

2.1.2. Método iteração de ponto fixo simples.........................................5

2.1.3. Método de Newton-Raphson........................................................6

2.2. Códigos de métodos para encontrar raízes de funções

2.2.1. Método da bissecção ....................................................................8

2.2.2. Método iteração de ponto fixo simples.........................................8

2.2.3. Método de Newton-Raphson.........................................................9

3. Conclusão..........................................................................................10

4. Referências bibliográficas................................................................11

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1. Introdução

Segundo Altamir Araldi (2017) o cálculo numérico tem por objetivo estudar algoritmos numéricos para a resolução de problemas que podem ser representados por um modelo matemático, sendo eles teóricos ou práticos. Cabe ressaltar que o cálculo numérico objetiva suprir uma necessidade deixada pelas disciplinas que estudam soluções exatas obtidas analiticamente, de modo que tem como objetivo encontrar soluções aproximadas para problemas que não podem ser solucionados de modo preciso.

Tendo em vista isso, é de suma importância ressaltar que nesse escrito abordaremos um problema muito importante:  métodos para encontrar raízes de equações. Sabe-se que algumas equações são facilmente resolvidas, como aquelas com grau inferior a dois. Entretanto, à medida que o grau da equação aumenta, geralmente cresce também a sua complexidade e resolver essas equações sem o uso de cálculo numérico se torna extremamente trabalhoso e, em alguns casos, até mesmo infrutífero.        

No estudo realizado nesse seminário, serão abordados dois tipos de métodos: métodos que isolam a raiz em intervalos e os métodos abertos. Segundo Steven C. Chapra e Raymond P. Canale (2008, p. 116) o primeiro citado, também chamado de bracketing methods, isola a raiz em um intervalo, requerendo duas estimativas iniciais para os valores de raiz. Essas duas estimativas são obtidas, geralmente, por meio na análise gráfica da função, de modo a estimar de forma mais precisa quais seriam esses dois valores iniciais, que devem delimitar a raiz, visando diminuir o tempo de resposta do programa, pois encontrará a raiz de forma mais eficiente. Cabe ressaltar que esses métodos são classificados como convergentes, pois há uma possibilidade muito grande de convergência para a raiz verdadeira. Já os métodos abertos requerem apenas um único valor de estimativa, ou, ainda que requeiram dois, estes não precisam delimitar a raiz. Ao contrário do primeiro supracitado, os métodos abertos nem sempre convergem, mas, quando o fazem, acontece de maneira muito mais rápida do que os métodos que isolam a raiz em intervalos.

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2. Desenvolvimento

2.1. Embasamento teórico de métodos para encontrar raízes de funções

                2.1.1. Método da bissecção

        Segundo Steven C. Chapra e Raymond P. Canale (2008, p. 98), o método da bisseção faz parte do conjunto de métodos intervalares, que utilizam a ocorrência da mudança de sinal de uma função quando ela se aproxima de uma raiz. Requerendo, assim, duas aproximações de inicio, que demarcam o intervalo em que a raiz se encontra.

        Segundo Steven C. Chapra e Raymond P. Canale (2008, p. 101), tal intervalo deve ser sempre reduzido a metade. Calculando-se o ponto médio da função quando ela passa de positiva para negativa ou vise e versa. Essa técnica é repetida até se alcançar aproximações satisfatórias. Sendo assim, é possível afirmar a existência de uma raiz real entre xl e xu, caso f(x) for real e contínua no intervalo de xl a xu, isto é, f(xl)f(xu)<0.

        Segundo Steven C. Chapra e Raymond P. Canale (2008, p. 106), uma das grandes vantagens apresentadas pelo método da bissecção, é que é possível calcular de inicio a quantidade de interações necessárias para se chegar em um erro absoluto. Utilizando- se da seguinte equação, em que          é a diferença entre xl e xu, e        é o erro desejado:[pic 2][pic 3]

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        Segundo Márcia A. Gomes Ruggiero e Vera Lúcia da Rocha Lopes (1988, p.  47), é possível afirmar que o método da bissecção sempre gera uma função convergente, caso as suposições de troca de sinal de xl e xu e de continuidade f(x) em [xl, xu] sejam atendidas. O que torna viável a obtenção de um intervalo em que a raiz se encontra. Porém, essa convergência é linear, ou seja, muito lenta, pois caso o intervalo inicial for muito maior que a raiz ou se a raiz tiver um valor muito pequeno, vai ser necessário um grande numero de interações para alcançá-la.  

2.1.2. Método iteração de ponto fixo simples

Segundo Steven C. Chapra e Raymond P. Canale (2008, p.116), este método faz parte dos métodos abertos para encontra determinada raiz, já que ele precisa de apenas um valor inicial de “x”. Esse método às vezes diverge, ou seja, ele pode se afastar do valor da raiz verdadeira à medida que os cálculos ocorrem, mas, quando ele converge, ele encontra a raiz de maneira bem mais rápida que os métodos intervalares, os quais precisam de limitantes de um intervalo preciso no qual se encontra a raiz e necessariamente convergem para tal.