Modelos de crescimento populacional

MODELOS DE CRESCIMENTO POPULACIONAL

Objetivo da aula

- Explicar os modelos conceituais e matemáticos que descrevem quantitativamente o crescimento das populações.

Por que precisamos usar tanta matemática para estudar ecologia?

O estudo de Ecologia de Populações é essenciamlmente quantitativo e procura descrever o que acontece com as populações em termos demográficos. Portanto, os estudos ecológicos dependem de medições da distribuição e abundância na natureza. Sendo sssim, precisamos de matemática e da estatística como ferramenta para sintetizar e interpretar medições.

Mas por que precisamos de modelos matemáticos?

- São representações abstratas da natureza;

- São simplificações da realidade, para facilitar seu entendimento

- Ajudam entender sistemas complexos;

- Geram previsões testáveis que imitam um fenômeno do mundo real;

- Apontam as diferenças entre padrões e mecanismos que podem causar estes padrões.

- Nada indica que a natureza seja obrigada a seguir os modelos e suas regras.

*Riscos: - construir modelos complexos demais com soluções matemáticas igualmente complexas.

Apesar de trabalharmos com modelos que carecem de precisão, esses modelos possibilitam a compreensão de tendências populacionais básicas.

Objetivo do Modelo

- Prever o tamanho populacional futuro da população (Nt+1) a partir do seu tamanho presente (Nt).

Deduzir o Modelo

Daqui a quanto tempo qual será o temanho da população no futuro baseado no tamanho da população no presente. O que pode acontecer com a população?

A variável N será usada para indicar o tamanho da população

Como o tamanho muda ao longo do tempo, usaremos o índice t para indicar o momento a que nos referimos.

Então N será o nº de indivíduos na população (tamanho da população) no tempo t.

O índice t corresponde a um dado tempo t.

Por exemplo, suponha que contamos, no início do estudo, 200 indivíduos em uma população de roedores. Voltamos ao local um ano depois e contamos 300 roedo-

res dessa população. Sendo assim, N0 = 200 N1 = 300. Por convenção, os modelos iniciam considerando um t = 0 (tempo inicial).

Suponha que recenseamos uma população de gambás e contamos 80 gambás no início do estudo. Revisitamos o local 3 meses depois e contamos 87.

Neste caso No = 80 e N1 = 87.

O que pode ter acontecido numa população de gambá, que aumentou de 80 para 87 indivíduos?

Podemos classificar todas as mudanças de tamanho populacional em apenas quatro categorias.

Nasceram 7 indivíduos

Nasceram 5 e emigraram 2

Nasceram 9 e morreram 2

Nasceram 9 e emigraram 2

Incorporando os 4 fatores em uma expressão matemática do crescimento populacional

Nascimento – B (Birth)

Morte – D (Death)

Emigração - E (Emigration)

Imigração - I (Immigration)

Assim, para prever o tamanho populacional em um momento futuro (N t +1) a partir do tamanho presente (Nt), poderíamos utilizar a relação abaixo:

Nt+1 = Nt + B - D + I – E

Para saber a mudança no tamanho da população (∆N) entre o tempo anterior e o tempo presente vamos então representar essa mudança pela diferença:

(Nt+1) - Nt = B - D + I – E

∆N = B - D + I – E

Esse símbolo ∆ poderia ser usado também para representar uma mudança entre o tempo t = 0 e t = 1 , ou seja,

t0 e t1, ∆ t .

Assumindo que a população é fechada (não há movimento de indivíduos entre populações), portanto, o número de novos indivíduos é dado pelo número de nascimentos (denotado por B) menos o número de mortes (D).

I = 0; E = 0

∆N = B - D

Premissas

 Estamos lidando com uma única população e essa população está isolada;

 Assumindo que o crescimento populacional é contínuo no tempo.

 Isto significa que o intervalo de tempo entre t e t+1 é infinitamente pequeno.

 Consequentemente, o crescimento da população pode ser descrito com uma curva.

 Curvas com incrementos infinitesimal são expressas por equações diferenciais.

 Esses pressupostos nos permitem modelar a taxa de crescimento populacional (dN/;dt) com uma equação diferencial contínua.

Equações diferenciais expressam taxas de mudança de N ao longo do tempo T.

Para fazer isso matematicamente, é preciso derivar a equação acima e substituir o símbolo ∆ pela letra “d”, o que equivale a dizer:

dN/dt = B-D

Desta forma, o crescimento populacional é medido como a mudança do tamanho da população (dN) durante um intervalo de tempo muito curto (dt). Ou seja, dN/dt é uma maneira de expressar que há uma mudança no número de indivíduos por unidade de tempo.

(dN/dt) = Mede a “velocidade” da população, isto é, a mudança no tamanho da população medida num intervalo