O Controle Automatico

Serão realizados os projetos para os seguintes controladores:

1. Controlador Proporcional;

2. Controlador PI “puro”;

3. Controlador PI + Zero;

4. Controlador por Atraso de Fase;

5. Controlador por Avanço de Fase;

6. Controlador PD c/filtro derivativo;

7. Controlador por Avanço-Atraso de fase;

8. Controlador PID.

Os controladores serão elaborados para a planta: [pic 1][pic 2]

Os projetos serão elaborados buscando os seguintes critérios:

- Período de amostragem, T = 0, 1 (segundos);

- Overshoot máximo tolerável, < 20%;

- Valores limites suportados na entrada da planta: −1, 3 ≤ u(t) ≤ 5, 4;

- Tempo de resposta desejável, t s < 1, 1 (segundos).

1. CONTROLADOR PROPORCIONAL

O controlador proporcional se resume a uma variação de ganho na entrada de uma planta, quanto maior o ganho, maior será o overshoot e menor será o tempo de assentamento e vice-versa, ganhos muito elevados podem tornar o sistema instável.

>> num=([2  5]);

den=poly([-6   -0.2  -1]);

planta = tf(num,den);

zpk(planta)

[pic 3]

ans =

 

       2 (s+2.5)

  -------------------

  (s+6) (s+1) (s+0.2)

 

Continuous-time zero/pole/gain model.

>> zeta=(-log (20/100)) / (sqrt(pi^2+(log(20/100)^2)))

zeta =

    0.4559

>> T = 0.1;

>> planta_digital = c2d(planta,T);

zpk(planta_digital)

[pic 4]

ans =

 

  0.0086299(z+0.8557)(z-0.7788)

  --------------------------------

  (z-0.9802)(z-0.9048)(z-0.5488)

 

Sample time: 0.1 seconds

Discrete-time zero/pole/gain model.

>> rlocus(planta_digital)

>> hold on

>> zgrid(zeta,0)

[pic 5]

>> [K1, polos_MF1] = rlocfind(planta_digital)

[pic 6][pic 7][pic 8]

Select a point in the graphics window

selected_point =

   0.8607 + 0.2110i

K1 =

    5.8276

polos_MF1 =

   0.8598 + 0.2105i

   0.8598 - 0.2105i

   0.6640 + 0.0000i

>> FTMF1 = feedback(Kp*planta_digital,1);

>> dcgain(FTMF1)

ans =

    0.9604

>> K1_degrau = 1/ans

>>K1_degrau =

    1.0412

>> figure; step(K1_degrau*FTMF1)

>> hold on

>> step(Kp*(1- FTMF1))

[pic 9]

Podemos perceber que o overshoot passou do especificado (20%) mesmo usando o comando rlocfind, isso se deve ao sistema ser de 3ª ordem e estarmos fazendo aproximação para um sistema de 2ª ordem. Portanto vamos baixar o ganho de 5.7579 para 3.1, assim obteremos o overshoot dentro do arbitrado, porém o tempo de assentamento será ainda maior.

>> Kp=3.1;

FTMF1 = feedback(planta_digital*Kp,1);

dcgain(FTMF1)

ans =

    0.9281

>> K1_degrau = 1/ans

>>K1_degrau =

    1.0774

>> figure; step(K1_degrau*FTMF1)

>> hold on

>> step(Kp*(1- FTMF1))

[pic 10]

Com Kp=3,1 conseguimos obter um overshoot de 20% porém o tempo de assentamento ficou em 4,28s, muito além do solicitado de 1,1s. U[Kt] permaneceu dentro dos parâmetros solicitados.

2. CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL “PURO”

Esse controlador é caracterizado por ser lento e por possuir erro estacionário nulo.

>> num_c2 = 1;

>> den_c2=poly([1]);

>> c2 = tf(num_c2,den_c2,T);

>> zpk(c2)

ans =

 

    1

  -----

  (z-1)

 

Sample time: 0.1 seconds

Discrete-time zero/pole/gain model.

>> FTMA2 = c2*planta_digital;

>> rlocus(FTMA2)

>> hold on

>> zgrid(zeta,0)

[pic 11]

>> [K2,polos_MF2]=rlocfind(FTMA2)

[pic 12][pic 13][pic 14]

Select a point in the graphics window

selected_point =

   0.9916 + 0.0157i

K2 =

    0.0040

polos_MF2 =

   0.9916 + 0.0157i

   0.9916 - 0.0157i

   0.9021 + 0.0000i

   0.5487 + 0.0000i

>> FTMF2=feedback(FTMA2*K2,1);

>> dcgain(FTMF2)

ans =

    1.0000

>> figure; step(FTMF2)

>> hold on

>> step(K2*(1- FTMF2))

[pic 15]

Podemos verificar que com o uso do PI puro apesar do overshoot ficar dentro do solicitado, não conseguimos manter o tempo de assentamento que só ocorreu aos 47 segundos, o resultado já era esperado visto que o uso desse controlador deixa o sistema lento. U[Kt] permaneceu dentro dos parâmetros solicitados.

CONTROLADOR PROPORCIONAL INTEGRAL + ZERO

Caracteriza-se por diminuir o tempo de resposta de um PI adicionando-se um zero no controlador.