O DEFINIR E CALCULAR O DETERMINANTE DE MATRIZES

Determinantes de Matrizes

Objetivos: Definir e calcular o determinante de matrizes.

1 Introdução

Seja A uma matriz n × n. Recorde que A é não-singular se ela possuir uma

inversa A−1

tal que A · A−1 = In. No entanto, essa nomenclatura não-singular possui

outro significado.

Nos números reais, todo elemento x que não é zero possui um inverso multiplicativo

1

x

(também escrito x

−1

) de forma que x ·

1

x = 1. Por exemplo, o inverso multiplicativo

de 5 é

1

5

. O único número que não possui um inverso multiplicativo é o 0, pois qualquer

outro número multiplicado por zero resulta em zero.

Já sabemos que para matrizes a situação é outra. Algumas matrizes podem não

possuir inversa. Diante disso, fazemos a seguinte pergunta: se tivermos uma matriz

An×n, como saber se ela possui uma inversa ou não?

Para isso, usamos o determinante de matrizes. Primeiro, vamos definí-lo e estudar algumas maneiras para calculá-lo. Depois, vamos ver a relação do determinante

com o inverso de uma matriz.

2 O Determinante de uma matriz 2 × 2

Vamos começar definindo o determinante para matrizes quadradas 1 × 1 e 2 × 2.

O caso mais simples é quando n = 1, ou seja, a matriz A possui apenas uma

entrada:

A = [a11] .

Nesse caso, diremos que o determinante de A é igual ao número a11, ou seja:

det(A) = a11.

Agora, suponha n = 2. Temos a seguinte definição:

1Revisado por: Profa. Flávia Cordeiro e Prof. Gustavo Salgado

Definição 2.1: Determinante de uma matriz 2 × 2

O determinante de uma matriz

A =

"

a11 a12

a21 a22 #

.

é definido por:

det(A) = a11a22 − a21a12.

Ou seja, o determinante de uma matriz 2 × 2 é o produto dos elementos

da sua diagonal principal menos o produto dos elementos fora da diagonal

principal. Isso vale apenas para matrizes 2 × 2.

Exemplo 2.1 O determinante da matriz "

3 2

−1 7 #

é 23:

det " 3 2

−1 7 #! = 3 · 7 − 2 · (−1) = 21 − (−2) = 21 + 2 = 23.

N

Exercício 2.1: Determinantes de matrizes 2 × 2

Calcule o determinante das matrizes:

B =

"

−1 −1

3 3 #

, C =

"

1

2

3

2

−1 2 #

, D =

"

1 0

0 1 #

, E =

"

0 0

0 0 #

F =

"

−

√

3

√

3

1

3

0

#

, G =

"

50 3

3 50 #

, H =

"

−1 1

1 −1

#

, J =

"

5 5

6 6 #

Observação 2.1

Alguns autores escrevem |A| (com barras verticais ao invés de colchetes) para

denotar det(A). Por exemplo, são todos iguais:

det(A) = det "

a11 a12

a21 a22#

=

a11 a12

a21 a22

...