O PROBLEMA DO COMPRIMENTO DO MATERIAL ENROLADO NA BOBINA

O PROBLEMA DO COMPRIMENTO DO MATERIAL ENROLADO NA BOBINA.

Marcelo, tem como fazer isso bem preciso com coordenadas polares, calculando o comprimento da curva por integrais e coisa e tal, mas é bem complexo e tem uma forma bem simples de chegar a um resultado muito próximo.

A ideia é aquela que tu colocas de buscar o comprimento total pelo avanço de cada volta do rolo.

É o seguinte:

Supondo que o canudo interno tenha formato cilindro com raio de 5 cm.

Supondo que a manta tenha espessura de 1 cm e que ao longo da bobina tenha um total de 15 voltas de manta.

Desse modo, as voltas se empilharão formando um pilha de 15 voltas de 1 cm cada, ou seja o rolo totalizará 20 cm de raio, 5 cm do canudo interno, mas 15 do empilhamento de voltas.

A ideia é aproximar essa espiral por sucessivos cilindros de raios que aumentam em 1 unidade (a suposta espessura da manta). Figuras a seguir representam os dois casos.

[pic 1]                [pic 2]

A circunferência tem comprimento  [pic 3] 

A primeira vai dar [pic 4], a segunda [pic 5] e assim por diante, até que a última dá [pic 6].  

Falando matematicamente temos

[pic 7]. A parte de dentro é a soma de uma PA de raio 1 (espessura da manta).

A soma da PA fica [pic 8] 

Então o comprimento total da [pic 9] cm, ou seja 11,78m.  

O valor mais exato calculado por meio do comprimento da curva em coordenadas polares, nesse caso, é 1178,2 cm, ou seja, praticamente igual.

Generalizando. A razão da PA é a espessura da manta e o número de termo é quantas voltas ela dá. O primeiro termo é o raio do canudo e o último termo é o raio externo da bobina.