O PROJETO DE SISTEMAS
Por: Renato Finoteli • 16/6/2018 • Trabalho acadêmico • 1.378 Palavras (6 Páginas) • 118 Visualizações
Formulário
Newton-Euler [pic 1] | Raio de giração (): [pic 2][pic 3] Teorema dos eixos paralelos: [pic 4] |
1GDLFreqüência natural: [pic 5]; Freqüência natural amortecida: [pic 6]; Período de oscilação: [pic 7]; | Fator de amortecimento: [pic 8]; Decremento logarítmico: [pic 9]. Rigidez equivalente (paralelo) e (série)[pic 10][pic 11] |
Sistema de 1GDL
Resposta livre:
[pic 12], subamortecido;
, raízes repetidas;[pic 13]
, superamortecido.[pic 14]
Resposta forçada:
Não amortecida:[pic 15]
Amortecida: [pic 16]
Resposta em frequência
[pic 17] [pic 18] | [pic 19] |
Escolha dois exercícios entre os 3 últimos para fazer 2. Nos exercícios feitos, se achar uma aplicação ou situação real, escreva e se for coerente ganhe 0,5 extra na prova.
- (Obrigatória) Analise a resposta do sistema desbalanceado em função de ω. Use as definições r= ω/ ωn e .[pic 20]
[pic 21]
Solução
Uma massa quando girada entorno de um ponto gera uma reação conhecida como resultante centrípeta sobre o ponto de ancoragem do giro. Dessa forma, a resultante pode ter suas componentes decompostas da seguinte forma:
[pic 22]
Analisando o sistema, percebemos que o disco reside sobre um apoio que permite o movimento na horizontal e trava o movimento vertical. O movimento de giro do disco em torno do seu próprio centro não gera nenhum movimento de oscilação em relação à posição angular, pois ele só depende da velocidade angular imposta. Dessa forma, podemos escrever o D.C.L. e a equação do sistema da seguinte forma:
[pic 23]
Como não há movimento vertical, somente o movimento na horizontal é de interesse, assim, fazendo o balanço de forças, tem-se:
[pic 24][pic 25][pic 26]
Uma solução possível desse sistema pode ser dada por
[pic 27]
Substituindo na equação do movimento, encontramos o valor relativo à amplitude do movimento, assim:
[pic 28]
Utilizando a definição de frequência natural e a definição dada de r= ω/ ωn, chegamos à seguinte equação:[pic 29]
[pic 30]
Colocando na forma gráfica, tem-se:
[pic 31]
Pelo gráfico, temos que quando , a posição do disco passa a ser constante na posição –e. E quando , a amplitude tende ao infinito.[pic 32][pic 33]
Aplicação (Exemplo): Sistemas de balanceamento de rotores balanceamento de rodas.
- (Obrigatória) Seja um sistema (fora da sua posição de equilíbrio) como o desenhado na figura a seguir:
- Encontre a posição de equilíbrio
- A equação do movimento da massa m, linearizada. Adote [pic 34]
- As frequências naturais do sistema.
[pic 35]
Solução
Seja L0 o comprimento inicial da mola, assim, para o sistema teremos:
[pic 36]
a) Pelo balanço de forças em torno da posição estática, tem-se:
[pic 37]
Por definição, podemos determinar , em função do ângulo alfa, assim:[pic 38]
[pic 39]
Substituindo, temos:
[pic 40]
Dessa forma, temos alfa determinado em função das variáveis do sistema. De maneira complementar, sabemos que:
[pic 41]
Assim, temos determinado em função de alfa.[pic 42]
b) Pelo balanço de forças na massa, para o caso fora do ponto de equilíbrio, tem-se:
[pic 43]
Com,
[pic 44]
Simplificando da mesma forma que foi feito para , chega-se à:[pic 45]
[pic 46]
Substituindo , o sistema passa a ser:[pic 47]
[pic 48]
[pic 49]
Da figura, sabemos que:
[pic 50]
[pic 51]
[pic 52]
Como o movimento é pequeno, tem-se [pic 53]
[pic 54]
[pic 55]
[pic 56]
Copiando e substituindo os termos, tem-se:
[pic 57]
[pic 58]
Simplificando na equação do movimento, tem-se:
[pic 59]
[pic 60]
[pic 61]
Utilizando a linearização dada no exercício:
[pic 62]
Admitindo que a aceleração vertical é nula, no instante inicial, tem-se:
[pic 63]
Linearizando o outro termo da mesma forma, chega-se à:
[pic 64]
[pic 65]
Utilizando,
[pic 66]
[pic 67]
[pic 68]
c) Tem-se:
[pic 69]
O sistema só possui uma frequência de vibração no sentido vertical.
Aplicação (Exemplo): Cama elástica. Acrobata de circo.
- A ilustração a seguir representa a vibração de uma estrutura apoiada por duas colunas de concreto. Determine a frequência de oscilação e a máxima amplitude do deslocamento da massa se as condições iniciais são e . Dados: massa , módulo de elasticidade e densidade do concreto, área e momento de inércia de área da seção transversal, comprimento da coluna . O valor do amortecimento é c/cc = 0,6. Desconsidere as massas das colunas.[pic 70][pic 71][pic 72][pic 73][pic 74][pic 75][pic 76][pic 77]
[pic 78]
Solução
- Rigidez equivalente
Para o modelo de uma viga em balanço com o grau de liberdade na extremidade livre, tem-se que .[pic 79]
- Sistema equivalente
[pic 80]
Para uma montagem com rigidez em paralelo, a rigidez e o armortecimento equivalente do sistema é
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