O Projeto Oscilações no Matlab

[pic 1]

FACULDADE NORDESTE

 FANOR DEVRY

PROJETO ACADÊMICO

OSCILADORES (LIVRES, AMORTECIDOS E FORÇADOS)

Trabalho apresentado à disciplina de Oscilações e Vibrações, pelo aluno: Caique Arrais Bezerra de Menezes, como requisito parcial de nota de AP1.

Fortaleza - CE

Maio/ 2017

Sumário

1.        OSCILADORES LIVRES        3

1.1 Análise Gráfica no MATLAB – Oscilador Livre        4

1.2 Comportamentos das Energias        5

2. OSCILADORES AMORTECIDOS        6

2.1 Amortecimento subcrítico, 𝜸<𝝎        7

2.1.1 Análise Gráfica no MATLAB        7

2.2  Amortecimento crítico, 𝜸 = 𝝎 = 𝜸𝒄        9

2.2.1 Análise Gráfica no MATLAB        10

2.3 Super amortecimento, 𝜸>𝝎        11

2.3.1 Análise Gráfica no MATLAB        11

3.        OSCILADORES FORÇADOS        13

3.2.1 Análise Gráfica no MATLAB        14

4.        REFERÊNCIAS        16

1. OSCILADORES LIVRES

A Força atuante no sistema massa mola na horizontal, ideal – sem atrito e desconsiderando a viscosidade do ar, é dado pela Equação (1), onde 𝑥0 denota a posição de equilíbrio.

[pic 2]

𝐹 = −𝑘(𝑥 − 𝑥0)

Para o oscilador vertical sob a ação da gravidade teremos

𝐹 = −𝑘(𝑥 − 𝑥0) + 𝑚𝑔

𝐹 = −𝑘𝑥 + 𝑘𝑥0 + 𝑚g

Se consideramos que a força peso apenas desloca o sistema para uma nova posição de equilíbrio 𝑥′0, podemos simplificar adotando está nova posição como referência para nosso sistema, se tornando:

𝐹 = −𝑘𝑥

Em termos de derivadas temporais:

[pic 3]

A solução estacionária é dada por:

[pic 4]

Onde ϕ é uma constante para o deslocamento inicial em t=0 e ω é dado por:

[pic 5]

Uma oscilação por um período completo, T, equivale a deslocar a função (seno ou cosseno) em 2π, em termos matemáticos isso fornece, de modo geral:

𝜔(𝑡 + 𝑇) + 𝜑 = 𝜔𝑡 + 𝜑 + 2𝜋 (8)

Isto fornece:

[pic 6]

E por fim:

[pic 7]

1.1 Análise Gráfica no MATLAB – Oscilador Livre

%EQUAÇÃO DO OSCILADOR LIVRE

A = 1; % Amplitude [m]

m = 1; % massa [kg]

k = 1; % Const. Elástica [N/m]

w = sqrt(k/m); % Frequência natural de Osc.[rad/s]

delta = 0; % Fase inicial [rad]

t = 0:0.1:10; % tempo [s]

x = A*cos(w*t + delta); % Eq. Daposicao

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Alterando os valores de M e K:

[pic 9]                  [pic 10]

                 m= 3 kg                                                              k= 2.5 N/m

Conclusões:

Podemos extrair algumas informações importantes quanto aos resultados esperados se mudarmos algumas variáveis.

• Se m aumenta, o período T aumenta – dado a maior inércia causada pela massa maior.
• Se k aumenta, o período T diminui – dado pela maior constante de restauração.

1.2 Comportamentos das Energias

%ENERGIAS DO OSCILADOR LIVRE

A = 1; % Amplitude [m]

m = 10; % massa [kg]

k = 1; % Const. Elástica [N/m]

w = sqrt(k/m); % Frequência natural de Osc.[rad/s]

delta = 0; % Fase inicial [rad]

t = 0:0.1:10; % tempo [s]

x = A*cos(w*t + delta); % Eq. daposicao

v =-A*w*sin(w*t + delta); % Eq. da velocidade

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