O VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO

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CENTRO UNIVERSITÁRIO UNISOCIESC

BACHARELADO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

LEONARDO DE OLIVEIRA RAMOS

VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO

JOINVILLE

2015/2

CENTRO UNIVERSITÁRIO UNISOCIESC

BACHARELADO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

LEONARDO DE OLIVEIRA RAMOS

VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO

Este trabalho será apresentado ao Centro Universitário Tupy – UNISOCIESC na disciplina de Cálculo II ministrada pela professora Barbara Haensch Schneider no curso de Engenharia de Produção na turma ECV 321, como requisito para a segunda parcial.

JOINVILLE

2015/2

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2 INTRODUÇÃO

        Este trabalho visa uma maior compreensão da disciplina de Cálculo II, em especial do assunto de Integrais e Soma de Riemann, além de aprender a encontrar uma função polinomial qualquer utilizando softwares para isso. Este trabalho tem como objetivo a determinação do volume de um sólido de revolução definido por uma função f(x) no intervalo [a,b] em torno da constante y=0. O sólido foi escolhido seguindo algumas condições.

        Essas condições são: escolher um sólido com perfil cilíndrico, obedecendo a uma função polinomial no mínimo do 3º grau, definir uma origem e retirar pontos do objeto para a obtenção da função. Para determinar o volume do sólido escolhido, foi utilizada Soma de Riemann, com 10, 50 e 100 partições, além da resolução da integral, para a obtenção do volume exato do objeto. Utilizando a fórmula do cálculo de volume por integral () e por Soma de Riemann ( foi possível a obtenção do volume exato e do volume aproximado respectivamente.[pic 2][pic 3]

        A utilização de softwares como Microsoft Office Excel®, Winplot e Graph foi de suma importância, pois proporcionou uma maior compreensão do assunto por parte do aluno porque facilitou o procedimento da obtenção da equação polinomial e do cálculo do volume além de proporcionar a visualização do objeto em 2D e em 3D.

        Portando, esse trabalho tem como objetivo conciliar o referencial teórico obtido em sala de aula com a prática, pois simula uma possível situação de um engenheiro no qual é necessário o cálculo do volume de um objeto qualquer utilizando Integral ou Soma de Riemann, além da utilização de softwares para facilitar a visualização do procedimento.

        

3 MATERIAL UTILIZADO

3.1 OBJETO SELECIONADO

        Obedecendo as condições impostas no trabalho de selecionar um objeto com perfil cilíndrico, foi selecionado um pote de fermento de 100g com altura de 6,5 cm.

        

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Figura 1: Objeto selecionado.

3.2 PAQUÍMETRO E RÉGUA

        O Paquímetro é um instrumento utilizado para medir distâncias lineares, internas, externas e profundidade de uma peça. Esse instrumento de medição é basicamente composto por oito componentes, sendo eles: orelha fixa, parte do paquímetro utilizada para medições lineares; orelha móvel, utilizada para retirada de medidas internas; escala superior, componente do paquímetro utilizado para medições em polegadas; parafuso de trava, utilizado para travar o paquímetro em determinada posição, auxiliando na leitura da medida; escala inferior, graduado em milímetros; nônio ou vernier superior, componente graduado em polegadas; nônio e vernier inferior, componente graduado em milímetros e haste de profundidade, componente utilizado para medir profundidades. O paquímetro digital apresenta uma tela digital que facilita a leitura da medida.

        A régua é um dos instrumentos mais comuns no dia a dia, sendo utilizada em residências, empresas, escola entre outros. Esse instrumento é basicamente utilizado para traçar segmentos de retas e para medir pequenas distâncias. Geralmente a régua é graduada em centímetros ou milímetros, mas também pode ser graduada em polegadas.

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Figura 2: Régua e Paquímetro.

4 PROCEDIMENTOS PARA O CÁLCULO DO VOLUME

4.1 RETIRAR AS MEDIDAS DO OBJETO

        Para facilitar a retirada das medidas do objeto, foi feito uma escala em centímetros utilizando a régua, com comprimento de 6,5 cm, representando a altura do objeto. Para cada meio centímetro da altura do objeto, foi retirado o diâmetro do mesmo, utilizando o paquímetro.

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Figura 3: Objeto com a escala de 6,5 cm.

        

        Após a retirada dessas medidas, foi feito uma tabela com valores da altura do objeto, do diâmetro e do raio, para que assim, seja feito o gráfico para a obtenção da equação polinomial. Para a construção do gráfico, foram utilizados os valores da altura e do raio sendo que a altura do objeto foi chamada de valores de “x” e o raio do objeto foi chamado de valores de “y”. Para a obtenção do raio do objeto, bastou pegar os valores do diâmetro e dividir por dois. A seguir, segue a tabela com as medidas do objeto:

Tabela
Altura	Diâmetro	Raio
0	5,2	2,6
0,5	5,4	2,7
1	5,5	2,75
1,5	5,5	2,75
2	5,4	2,7
2,5	5	2,5
3	4,8	2,4
3,5	4,8	2,4
4	5,1	2,55
4,5	5,4	2,7
5	5,4	2,7
5,5	5,5	2,75
6	5,3	2,65
6,5	5,1	2,55

4.2 FUNÇÃO GERADA COM OS PONTOS MEDIDOS

        Após a realização das medidas e organização dos dados em tabela, para a obtenção da curva de contorno, foi necessário dispor no Software Graph os dados do sólido e, acessar o menu Função, marcar Inserir Série de Pontos, e seguir as orientações que são apresentadas pelo software, fazendo aparecer a janela que indica onde deverão ser digitados os dados do sólido. Ficou estabelecido que a variável “x” representaria a altura e, “y” seria a variável representativa do raio. Abaixo segue a figura com a janela onde são colocados os valores da medida do objeto para a obtenção dos pontos do gráfico.