OS DETERMINANTES E SUAS APLICAÇÕES

DETERMINANTES E SUAS APLICAÇÕES

O determinante de uma matriz possui várias aplicações atualmente. Utilizamos o determinante para verificar se três pontos estão alinhados no plano cartesiano, para calcular áreas de triângulos, para resolução de sistemas lineares, entre outras aplicações na matemática. O estudo de determinantes não se limita à matemática, há algumas aplicações na física, como no estudo de campos elétricos.

Calculamos determinantes somente de matrizes quadradas, ou seja, matrizes em que a quantidade de colunas e a quantidade de linhas são iguais. Para calcular o determinante de uma matriz, precisamos analisar a ordem dela, ou seja, se ela é 1x1, 2x2, 3x3 e assim sucessivamente, quanto maior a sua ordem, mais difícil será encontrar o determinante. No entanto, há métodos importantes realizar-se o exercício, como a regra de Sarrus, utilizada para calcular-se determinantes de matrizes 3x3.

Define-se como determinante da matriz A (det A) o número que é obtido através das operações das matrizes dos elementos que fazem parte da matriz A, a partir das regras  das operações matemáticas das matrizes e determinantes.

REGRAS BÁSICAS DAS MATRIZES E DETERMINANTES

 Se uma matriz A qualquer possuir apenas uma linha e uma coluna (A 1 X 1), logo seu determinante será o único elemento integrante dessa matriz.

Observa-se, portanto:

Matriz A = (10)

det A = 10

DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 1

Uma matriz é conhecida como de ordem 1 quando possui exatamente uma linha e uma coluna. Quando isso ocorre, a matriz possui um único elemento, o a11. Nesse caso o determinante da matriz coincide com esse seu único termo.

A = (a11)

det(A) = | a11 | = a11

Exemplo:

A = [2]

det(A) = |2| = 2

Para calcular-se determinantes de matrizes de ordem 1, é necessário então apenas conhecer o seu único elemento.

DETERMINANTES DE MATRIZES DE ORDEM 2

A matriz quadrada 2x2, conhecida também como matriz de ordem 2, possui quatro elementos, nesse caso, para calcular o determinante, é necessário conhecermos o que é a diagonal principal e a diagonal secundária.

Para calcular o determinante de uma matriz de ordem 2, calculamos a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e os termos da diagonal secundária.

Exemplo:

[pic 1]

[pic 2]

DETERMINANTE DE MATRIZ DE ORDEM 3

A matriz de ordem três é mais trabalhosa para obter-se o determinante do que as anteriores, na verdade, quanto maior a ordem de uma matriz, mais difícil será esse trabalho. Nela é necessário utilizar o que conhecemos como regra de Sarrus.

Regra de Sarrus

A regra de Sarrus é um método para calcular-se determinantes de matrizes de ordem 3. É necessário seguir alguns passos, sendo o primeiro duplicar as duas primeiras colunas no final da matriz.

Exemplo: