Os Fundamentos de Sistema de Comunicação

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CONVERSA INICIAL 

Nesta aula, você encontrará a definição de sinais e reconhecerá as diferentes formas de classificá-los (podem ser separados em dois grupos, os periódicos e não periódicos). Compreenderá que um sinal de periódico pode ser aproximado pela Série de Fourier e verá como funções pares e ímpares se comportam quando analisados pelas séries de Fourier. A análise de sinais no domínio do tempo pode ser um desafio bastante complexo, mas, por meio da transformada de Fourier, operações complexas podem ser simplificadas quando a função é transformada para outro domínio. Você compreenderá melhor estas questões quando estudar as propriedades associadas à transformada de Fourier, assim como à operação inversa da transformada. O estudo da convolução de sinais servirá de base para o aprendizado das aulas seguintes, bem como para compreender a densidade espectral dos sinais e seus efeitos.

TEMA 1 – SINAIS, ESPECTROS DE LINHA E SÉRIES DE FOURIER  

1.1 Introdução

Antes de iniciar a parte do estudo sobre séries, é preciso efetuar uma revisão de números complexos. Número complexo é dado por uma parcela dos números reais, acrescido de uma parcela dos números imaginários. Número complexo é representado por:

 

𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 

 

Em que a e b correspondem às coordenadas das abscissas e ordenadas do plano complexo.

Figura 1 – Representação do plano dos números complexos

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A parte Real de z corresponde à incógnita a e a parte imaginária de z corresponde à b no plano cartesiano complexo. Isto pode ser escrito da seguinte forma:

 

𝑎𝑎 = 𝑟𝑟. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒 𝑗𝑗 = 𝑟𝑟. 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐    

 

Sendo r e θ as coordenadas polares do ponto z. Trabalhando com as equações, tem-se:

 

𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑟𝑟. cos 𝑐𝑐 + 𝑗𝑗. 𝑟𝑟. 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑐𝑐 =  𝑟𝑟( 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑗𝑗𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐) 

 

Pela fórmula de Euler, tem-se

 

𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 + 𝑗𝑗𝑐𝑐𝑒𝑒𝑠𝑠𝑐𝑐 

Portanto:  

 

𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑒𝑒 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 

 

Isso nos leva a compreender um número complexo na fórmula cartesiana a ser expresso na forma polar. Os termos de:  

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𝑟𝑟 = 𝑎𝑎2 + 𝑗𝑗2 𝑒𝑒  𝑗𝑗

𝑐𝑐 = 𝑡𝑡𝑡𝑡−1 [pic 5] 

𝑎𝑎

1.2 Conjugado de um número complexo  

 

𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑗𝑗𝑗𝑗 

 

É dado por:  

 

𝑧𝑧∗ = 𝑎𝑎 − 𝑗𝑗𝑗𝑗 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑎𝑎𝑠𝑠𝑡𝑡𝑐𝑐, 𝑧𝑧 = 𝑟𝑟. 𝑒𝑒−𝑗𝑗𝑗𝑗  

 

No plano complexo:

 

𝑟𝑟𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 

 

Isso corresponde à distância do ponto r até a origem do sistema cartesiano, inclinado θ graus em relação ao eixo das abscissas (eixo horizontal). Figura 2 – Plano complexo  

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1.3 Identidades úteis

O ponto situado na reta dos números reais igual a –1 situa-se a uma distância de dimensão 1 da origem e tem por ângulo θ o valor de π, portanto:

 

1𝑒𝑒𝑗𝑗𝑗𝑗 = −1 

 

Observe que o ângulo π é igual ao ângulo -π e por seus múltiplos inteiros ímpares nπ.

O número 1, por sua vez, pode ser expresso por:

 

1𝑒𝑒𝑗𝑗2𝑗𝑗 = 1 

Mais precisamente, o ângulo é 2nπ para qualquer n inteiro.

O número j tem valor 1 no eixo imaginário e o ângulo formado é de π/2.

 

𝑗𝑗

𝑒𝑒𝑗𝑗2 = 𝑗𝑗 

De maneira similar:  

 

𝑗𝑗

−𝑗𝑗

        𝑒𝑒        2 = −𝑗𝑗 

         

1.3.1 Tamanho do sinal

A ideia de tamanho oferece uma dimensão comparativa. Por meio da percepção, é possível afirmar que algo é grande ou pequeno sempre quando se compara o objeto contra um padrão. Em termos matemáticos, o tamanho de um sinal está relacionado à sua amplitude, mas também ao comprimento do sinal.

Outro sinônimo para tamanho de um sinal é força de um sinal.

1.3.2 Energia de um sinal

O conceito de energia do sinal é melhor do que o tamanho do sinal por uma questão simples: um sinal pode variar sua amplitude em relação ao valor de referência de maneira a adotar valores positivos ou negativos. Dessa forma, ao somar o tamanho do sinal, as partes positivas podem ser compensadas pelas partes negativas do sinal e o resultado pode indicar um valor pequeno. Uma forma de contornar este problema é tomar o quadrado do sinal, assim, todo número elevado ao quadrado torna-se positivo e o efeito da compensação positivo/negativo é eliminado.