Procedimentos para calcular integrais de funções trigonométricas

Procedimentos a serem utilizados para calcular integrais de produtos de funções trigonométricas
cos𝑛 𝑥	𝑛 par	𝑛 = 2𝑘	Reescreve na forma cos𝑛 𝑥 = cos2𝑘 𝑥 = (cos2 𝑥)𝑘 e usa a relação cos2 𝑥 = 1+cos(2𝑥) 2        .
𝑛 ímpar	𝑛 = 2𝑘 + 1	Reescreve na forma cos𝑛 𝑥 = cos(2𝑘+1) 𝑥 = (cos2 𝑥)𝑘. 𝑐𝑜𝑠𝑥 = (1 − (𝑠𝑒𝑛𝑥)2)𝑘𝑐𝑜𝑠𝑥 e usa a mudança de variável 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥.
sen𝑛 𝑥	𝑛 par	𝑛 = 2𝑘	Reescreve na forma sen𝑛 𝑥 = sen2𝑘 𝑥 = (sen2 𝑥)𝑘 e usa a relação sen2 𝑥 = 1−cos(2𝑥). 2 sen𝑛 𝑥 = sen(2𝑘+1)        (        2   )𝑘        (        (        )2)𝑘
𝑛 ímpar	𝑛 = 2𝑘 + 1	Reescreve na forma        𝑥 =   sen 𝑥        . 𝑠𝑒𝑛𝑥 =   1 − 𝑐𝑜𝑠𝑥        𝑠𝑒𝑛𝑥 e usa a mudança de variável 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥.
cos𝑚 𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥	𝑚 e 𝑛 pares	𝑚 = 2𝑘 e 𝑛 = 2𝑙	Reescreve na forma (cos2 𝑥)𝑘(𝑠𝑒𝑛2𝑥)𝑙 e usa as relações cos2 𝑥 = 1+cos(2𝑥) e sen2 𝑥 = 1−cos(2𝑥) 2        2        .
𝑚 ímpar e 𝑛 qualquer	𝑚 = 2𝑘 + 1	Reescreve na forma 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑥𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥 = (cos2 𝑥)𝑘. 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥 = (1 − (𝑠𝑒𝑛𝑥)2)𝑘𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 e usa a mudança de variável 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛𝑥.
𝑚 qualquer e 𝑛 ímpar	𝑛 = 2𝑘 + 1	Reescreve na forma 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑥𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥 = cos𝑚 𝑥 (sen2 𝑥)𝑘. 𝑠𝑒𝑛𝑥 = cos𝑚 𝑥 (1 − (𝑐𝑜𝑠𝑥)2)𝑘𝑠𝑒𝑛𝑥 e usa a mudança de variável 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝑥.
𝑡𝑔𝑛𝑥	𝑛 qualquer	Reescreve na forma 𝑡𝑔𝑛𝑥 = 𝑡𝑔(𝑛−2)𝑥. 𝑡𝑔2𝑥 = (𝑡𝑔𝑥)(𝑛−2)(sec2 𝑥 − 1) = (𝑡𝑔𝑥)(𝑛−2)𝑠𝑒𝑐2𝑥 − 𝑡𝑔(𝑛−2)𝑥. Calcula a integral de (𝑡𝑔𝑥)(𝑛−2)𝑠𝑒𝑐2𝑥 usando a substituição 𝑢 = 𝑡𝑔𝑥 e, caso 𝑛 − 2 > 3, repete o procedimento para calcular a integral de 𝑡𝑔(𝑛−2)𝑥.
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑛𝑥	𝑛 qualquer	Utiliza-se os mesmos procedimentos utilizados no caso de 𝑡𝑔𝑛𝑥, com as adaptações necessárias.
sec𝑛 𝑥	𝑛 par	𝑛 = 2𝑘	Reescreve na forma sec𝑛 𝑥 = sec(2𝑘−2) 𝑥. sec2 𝑥 = sec2(𝑘−1) 𝑥. sec2 𝑥 = (sec2 𝑥) (𝑘−1) sec2 𝑥 = = ((𝑡𝑔𝑥)2 + 1)(𝑘−1) sec2 𝑥 e usa a mudança de variável 𝑢 = 𝑡𝑔𝑥.
𝑛 ímpar	Reescreve na forma sec𝑛 𝑥 = sec(𝑛−2) 𝑥. sec2 𝑥 e usa integração por partes considerando 𝑢 = sec(𝑛−2) 𝑥 e 𝑑𝑣 = sec2 𝑥𝑑𝑥. Dependendo do valor de 𝑛, será necessário usar o método mais de uma vez.
cossec𝑛 𝑥	𝑛 par	𝑛 = 2𝑘	Utiliza-se os mesmos procedimentos utilizados no caso de 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥, com as adaptações necessárias.
𝑛 ímpar	Utiliza-se os mesmos procedimentos utilizados no caso de 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥, com as adaptações necessárias.
𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥	𝑚 e  𝑛 ímpares	𝑚 = 2𝑘 + 1 e 𝑛 = 2𝑙 + 1	Reescreve na forma 𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥 = 𝑡𝑔(𝑚−1)𝑥. 𝑠𝑒𝑐(𝑛−1)𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑔𝑥 = 𝑡𝑔2𝑘𝑥𝑠𝑒𝑐(𝑛−1)𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑔𝑥 = (𝑡𝑔2𝑥)𝑘𝑠𝑒𝑐(𝑛−1)𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑔𝑥 = ((𝑠𝑒𝑐 𝑥) 2 − 1)𝑘(𝑠𝑒𝑐𝑥)(𝑛−1). 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑔𝑥 e usa a mudança de variável 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑥.
𝑚 par e 𝑛 ímpar	𝑚 = 2𝑘 e 𝑛 = 2𝑙 + 1	Reescreve na forma 𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥 = 𝑡𝑔2𝑘𝑥𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥 = (𝑡𝑔2𝑥)𝑘𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥 = (sec2 𝑥 − 1)𝑘 sec𝑛 𝑥 e usa o método para o cálculo de potências de secante com expoente ímpar.
𝑛 par	𝑛 = 2𝑘	Reescreve na forma 𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥 = 𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐2𝑘𝑥 = 𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐(2𝑘−2)𝑥. 𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐2(𝑘−1)𝑥. 𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 𝑡𝑔𝑚𝑥. (𝑠𝑒𝑐2𝑥)(𝑘−1). 𝑠𝑒𝑐2𝑥 = 𝑡𝑔𝑚𝑥. ((𝑡𝑔𝑥)2 + 1)(𝑘−1). 𝑠𝑒𝑐2𝑥 e usa a mudança de variável 𝑢 = 𝑡𝑔𝑥.
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥	𝑚 e  𝑛 ímpares	𝑚 = 2𝑘 + 1 e 𝑛 = 2𝑙 + 1	Utiliza-se os mesmos procedimentos utilizados no caso de 𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥, com as adaptações necessárias.
𝑚 par e 𝑛 ímpar	𝑚 = 2𝑘 e 𝑛 = 2𝑙 + 1	Utiliza-se os mesmos procedimentos utilizados no caso de 𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥, com as adaptações necessárias.
𝑛 par	𝑚 qualquer 𝑛 = 2𝑘	Utiliza-se os mesmos procedimentos utilizados no caso de 𝑡𝑔𝑚𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑛𝑥, com as adaptações necessárias.

[pic 1][pic 2]

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