Processos de cálculo para resolver equações do 2º grau e confronto de situações problemáticas com equações.

OBJETIVO

Compreender e explorar em diferentes contextos os processos de cálculos para resolução de equações de 2º grau e enfrentamento de situações-problema envolvendo equações.

DEFINIÇÃO

De modo geral:

Dados os números reais a, b e c, com a≠ 0, chama-se função do 2º grau (ou função quadrática) a função:

f: ℝ→ℝ definida por y = f(x) = ax2+bx+c

As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo, etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções.

A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.

As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau, ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante? (delta), podemos ter as seguintes situações gráficas:

? > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos.

? = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto.

? < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x.

Zero e Equação do 2º Grau

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que ƒ(x) = 0.

Então as raízes da função ƒ(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2+bx+c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

ƒ (x) = 0 → ax2+bx+c → x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

do valor obtido para o radicando ∆ =b^2-4.a.c, chamado discriminante, a saber:

Quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;

Quando é zero, há só uma raiz real (para ser mais preciso, há duas raízes iguais);

Quando é negativo, não há raiz real.

EXEMPLOS

Exemplo 1

A função do 2º grau f(x) = – x2 + x – 2, pode ser representada por y = – x2 + x – 2. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos primeiro estipular alguns valores para x. Vamos dizer que x = –3; –2; –1; 0; 1; 2. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:

x = – 3

y = – (–3)2 + (–3) – 2

y = –9 – 3 – 2

y = – 12 – 2

y = – 14

x = – 2

y = –( – 2)2 + (– 2) – 2

y = – 4 – 2 – 2

y = – 8

x = –1

y = – (–1)2 + (–1) – 2

y = – 1 – 1 – 2

y = – 2 – 2

y = – 4

x = 0

y = 02 + 0 – 2

y = – 2

x = 1

y = – 12 + 1 – 2

y = – 1 + 1 – 2

y = – 2

x = 2

y = – 22 + 2 – 2

y = – 4 + 2 – 2

y = – 4

Exemplo 2

Com relação à função f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9, sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.

f(0) = 0, isso significa que x = 0 e y = 0. A função f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9 pode ser escrita assim: y = 3x2 – 5x + m2 – 9, agora basta fazer as substituições:

f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9

f(0) = 3 * 02 – 5 * 0 + m2 – 9

0 = m2 – 9

m2 = 9

m = √9

m = – 3 ou + 3

Exemplo 3

O gráfico seguinte esboça uma função

No gráfico é indicado quais são as raízes da função (-3/2 e 3), então sabemos quais são os fatores da equação (x+-3/2) e (x-3). Agora efetuando a multiplicação