RELATORIO TRANSFORMADA DE FOURIER

INSTITUTO FEDERAL DE GOIÁS - IFG

BACHARELADO EM ENGENHARIA MECÂNICA

 

   

     

     

Fernando Pablo Rodrigues

           

 

TRANSFORMADA DE FOURIER

                           

 

GOIÂNIA

2018

 

Sumário 

1. INTRODUÇÃO4
2. OBJETIVOS4
3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS5

3.1. TRANSFORMADA DE FOURIER5

3.2.  AMOSTRAGEM DE SINAIS6

3.3. ALGORITMO FFT 7

1. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS8

4.1. MATERIAIS UTILIZADOS8

1. RESULTADOS9

5.1. FUNÇÃO SENOIDAL10

1. CONSIDERAÇÕES FINAIS11
2. BIBLIOGRAFIA15
3. ANEXOS16

8.1. PROGRAMA SENOIDAL17

8.2. PROGRAMA SINAL RETANGULAR18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 1.   INTRODUÇÃO

 

 

Transformada de Fourier é uma ferramenta matemática utilizada para levar os sinais que estão no domínio do tempo para o domínio da frequência, essa mudança traz diversos benefícios e facilita a análises desses sinais.

 

Neste trabalho iremos realizar alguns experimentos e com base teórica obtida durante as aulas sobre sinais e transformada de Fourier iremos analisar e comparar os resultados reais com os esperados teoricamente (modelos ideais).

 

Para realizar os procedimentos experimentais será utilizado a ajuda computacional para facilitar os cálculos e aumentar a precisão dos resultados obtidos.

 

 

2.   OBJETIVOS 

 

• Diferenças entre a teoria da transformada de Fourier e sua aplicação prática na engenharia.
• Estudo do espectro da frequência. 
• Análise do sinal no domínio do tempo e no domínio da frequência. 
• Desenvolvimento de um programa para realizar a FFT. 
• Estudos sobre amostragem dos sinais.
• Estudo sobre o algoritmo FFT

3.   FUNDAMENTOS TEORICOS 

 

 

3.1.      TRANSFORMADA DE FOURIER 

 

A transformada de Fourier foi desenvolvida pelo matemático Jean-Baptiste Joseph Fourier, sua maior contribuição para matemática foi perceber que os sinais complicados poderiam ser representados através da simples soma de uma série de sinais mais simples. Fourier escolheu fazer isso pela série exponencial, que nos permite representar funções periódicas através de somas de senos e cossenos (uma função [pic 1] é dita periódica se existe um número real positivo [pic 2]0, chamado período de [pic 3], tal que [pic 4]([pic 5]) = [pic 6]([pic 7]+[pic 8]0) para todo [pic 9] no domínio de [pic 10]). A série exponencial de Fourier de uma função periódica [pic 11]([pic 12]) com período fundamental [pic 13]0, é dada por:  

 

        [pic 14]  ;       [pic 15]                  Equação 1     

 

Onde

 

        [pic 16]                             Equação 2

 

 

A equação para obter a transformada de Fourier de um sinal qualquer é dada por:

 

        [pic 17]                              Equação 3 

 

         em que X(jω) é a representação em frequência de um sinal aperiódico x(t).

 

 

         Sua inversa é dada por:

 

 

        [pic 18]                              Equação 4 

 

 

 

Como pode se observar na equação 3 para um sinal mais complexo a realização dos cálculos manualmente se torna muito difícil e trabalhoso, desta forma, a solução encontrada para utilizar-se na engenharia foi o desenvolvimento do algoritmo FFT (Fast Fourier Transforme).

 Para permitir o processamento de sinais por computador, o sinal analógico deve ser digitalizado por um conversor analógico para digital (A/D). Neste processo o sinal é amostrado em vários instantes, em intervalos de tempo constante. O intervalo de tempo é o período de amostragem (T), e o recíproco de T é a frequência de amostragem (fs= 1/T). A unidade de tempo do período de amostragem em geral é segundos, e a de Frequência é em Hz. 100 Hz significa que 100 amostras do sinal são tomadas em 1 segundo Pode-se simular funções amostradas no Matlab, por exemplo.

 

 

 

3.3.      ALGORITMO FFT

 

 A Transformada rápida de Fourier (FFT) é um algoritmo eficiente para se calcular a transformada discreta de Fourier e sua inversa, visto que, os sinais nos computadores são obtidos em amostras. O algoritmo FFT está disponível em diversas linguagens de programação, sendo o meio mais utilizado para trabalhar os sinais nos dias de hoje. 

FFT (FAST FOURIER TRANSFORM) é simplesmente uma forma mais rápida de calcular a DFT: A FFT utiliza alguns algoritmos que permitem reduzir o número de operações para Nlog2N. Para utilizar a FFT, é necessário que o número de amostras seja uma potência de 2. A FFT é executada mais rapidamente com um vetor cujo comprimento é uma potência de 2. A FFT em um software permite o cálculo fácil da DFT via FFT. Se tivermos um vetor [pic 19], de [pic 20] elementos >>FFT de A = fft(A);