AD 01 - GA1

[pic 1]

Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro

Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro

Segunda Avaliação Presencial de Geometria Analítica I

Prof. Linhares e Prof. Leonardo Silvares – 2011-2

Nome:__________________________________________________________

Pólo:___________________________________________________________

Questão 1: (2,5 pontos) A figura abaixo representa um setor circular limitado pelos raios AC e BC. Determine a região por meio de um sistema de três inequações.

[pic 2]

Solução: A região R procurada é a interseção das regiões

• R1, interior do círculo de centro C = (3, 4) e raio [pic 3], contendo o círculo;
• R2, acima da reta que passa pelos pontos A e C, contendo  a reta;
• R3, abaixo da reta que passa pelos pontos B e C, contendo a reta.

A região R1 é limitada pelo círculo de centro C e raio [pic 4], logo, de equação (x − 3)2 + (y − 4)2 = 25. Como queremos os pontos que estejam no interior ou sobre o círculo, temos

R1: [pic 5].

A região R2 está acima da reta que passa pelos pontos A e C, contendo  a reta. Esta reta possui coeficiente angular

[pic 6]

logo, tem equação

[pic 7]⇔ [pic 8].

Como queremos os pontos da reta e acima dela, temos a região

R2:[pic 9]⇔ R2: 4x – 3y ≤ 0.

A região R3 está abaixo da reta que passa pelos pontos B e C, contendo  a reta. Esta reta possui coeficiente angular

[pic 10]

logo, tem equação

[pic 11]⇔ [pic 12].

Como queremos os pontos da reta e abaixo dela, temos a região

R3:[pic 13]⇔ R3: 3x – 4y + 7 ≥ 0.

Assim, a região  é dada por

R = R1 ∩ R2 ∩ R3:⇔ R: [pic 14].

Questão 2 (2,5 pontos): Classifique e determine o centro da cônica de equação

2xy + [pic 15]x + [pic 16]y = 3.

Solução: Considerando as equações de rotação de eixos

[pic 17],

substituindo na equação, e igualando o coeficiente do termo misto a zero, teremos

[pic 18]

logo,

[pic 19],

o que nos permite escolher, por exemplo, θ = 45o . Assim,

[pic 20],

e, substituindo na equação, obtemos

[pic 21],

logo,

[pic 22],

que, completando os quadrados nos dá

[pic 23],

ou, equivalentemente,

[pic 24].

Logo, temos uma hipérbole, cujo centro, nas coordenadas rotacionadas é dado por C ' = (– 1, 0).

Para obtermos as coordenadas deste centro no sistema OXY original, fazemos

[pic 25]
.

Questão 3 (2,5 pontos): Dê a equação, em coordenadas polares, do círculo de centro (0, a) e raio a.

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