Resumo Probabilidade e Estatística Espaço Amostral e Eventos

Espaço amostral e eventos

Aula 1 com o André

Modelos probabilísticos

• Os modelos probabilísticos são construídos a partir de certas hipóteses a respeito do problema e constituem-se de duas partes essenciais:
          Os possíveis resultados.
          Uma lei que nos diz quão provável é cada resultado (ou gp de resultados).

Exemplo: Considere o experimento lançar uma moeda e observar a face voltada para cima após o repouso.

1. Os possíveis resultados são cara e coroa;
2. Supondo que a moeda é equilibrada e o lançamento imparcial, as chances de ocorrência de cara e coroa são iguais;

Experimento aleatório

• Um experimento aleatório é uma experiência ou situação em que deve ocorrer um dentre vários resultados, sendo que o resultado não pode ser previsto a priori, mesmo o experimento sendo realizado repetidas vezes sob as mesmas condições.

Exemplos:

1. Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima;
2. Lançar um dado e observar a face voltada para cima;
3. Lançar uma moeda até que ocorra uma cara e contar o número de lançamentos realizados;
4. Escolher um aluno ao acaso e medir sua temperatura;

Espaço amostral

• É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório e é geralmente denotado por Ω (ômega).
• Estudar diferenças discreto, contínuo, enumerável e não-enumerável;
  
  Exemplos:

1. Lançar uma moeda e observar a face voltada para cima Ω = {cara, coroa};
2. Lançar um dado e observar a face voltada para cima Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
3. Lançar uma moeda até que ocorra uma cara e contar o número de lançamentos realizados Ω = {1, 2, 3, ...};
4. Escolher um aluno ao acaso e medir sua temperatura (em Celsius) Ω = {x Є R, 30 ≤ x ≤ 50};

• Um espaço amostral é discreto quando o conjunto de possíveis resultados formam um conjunto enumerável, e contínuo quando o conjunto de possíveis resultados é um conjunto não-enumerável.

Exemplos:

1. Ω = {cara, coroa} discreto;
2. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} discreto;
3. Ω = {1, 2, 3, ...} discreto;
4. Ω = {x Є R, 30 ≤ x ≤ 50} contínuo;

Eventos

• É um possível resultado ou conjunto de resultados do experimento. Em outras palavras, qualquer subconjunto de Ω é um evento.

Exemplos:

1. A = ocorre um número par = {2, 4, 6};
2. B = ocorre um número menor que três = {1, 2};
3. C = ocorre o número seis = {6};
4. D = ocorre um número maior que seis = {} (evento impossível);

• Utilizam-se letras maiúsculas para denotar eventos.
• O evento A = Ω é chamado “evento certo” e o evento B = Ø é chamado “evento impossível”

Operações com eventos

• A união de dois eventos A e B, denotada por A U B, representa a ocorrência de, pelo menos, um dos eventos A ou B. Isto é, ocorre o evento A, ou ocorre o evento B, ou ocorre ambos.
• A interseção do evento A com o evento B, denotada por A ∩ B, é a ocorrência simultânea de A e B. Ou seja, para que ocorra o evento A ∩ B, A e B devem ocorrer.
• Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos, ou disjuntos, senão têm elementos em comum, isto é se A ∩ B = Ø

Exemplos: Considere o lançamento de um dado e os seguintes eventos
                A = ocorre um número par
                B = ocorre um número menor que 4

Descreva os eventos:

C = A U B                                        (C = {1, 2, 3, 4, 5, 6})

D = A ∩ B                                        (D = {2})

A (complemento)                                (A (c) = {1, 3, 5})

B (complemento)                                (B (c) = {4, 5, 6})

Notemos que:

A = {2, 4, 6}

B = {1, 2, 3}

Aula 3 com o André

Probabilidade condicional

• Em algumas situações é possível que tenhamos alguma informação parcial sobre o resultado de um experimento aleatório. Nesses casos, podemos calcular probabilidades condicionais, isto é, levando em conta a informação (parcial) disponível.

Exemplo: Considere a seguinte tabela sobre duas turmas A e B e sexo dos alunos

Escolhemos um aluno ao acaso. Sabendo que o aluno escolhido foi da turma A, qual a probabilidade de que ele seja do sexo masculino?

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