Resumo Sobre Funções

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE MINAS GERAIS – CAMPUS BETIM

Material de estudo da disciplina Matemática A 2021. Autor: Carlos Eustáquio Pinto.

Semana de estudos de 19/04/2021 a 24/04/2021.

1. Funções

Função é uma relação que associa cada elemento de um conjunto não vazio 𝐴, denominado conjunto domínio da função, a um único elemento de um conjunto não vazio 𝐵, conhecido como conjunto contradomínio da função, a partir de uma regra/lei de associação.

A notação 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑦 significa que para todo elemento 𝑥 pertencente ao conjunto 𝐴 teremos somente um elemento 𝑦 pertencente ao conjunto 𝐵 que está associado a esse 𝑥 a partir da lei de associação 𝑓(𝑥).

Há outras notações que significam a mesma coisa como, por exemplo:

𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵

𝑥 ⟼ 𝑓(𝑥)

Em termos matemáticos temos que dados dois conjuntos não vazios 𝐴 e 𝐵 chamamos de função definida em 𝑨 com imagens em 𝑩 ou aplicação de 𝑨 em 𝑩 uma relação 𝑓 de 𝐴 em 𝐵 se, e somente se, para todo 𝑥 pertencente a 𝐴 existe exatamente um 𝑦 pertencente a 𝐵 tal que (𝑥; 𝑦) ∈ 𝑓.

𝑓 é função de 𝐴 em 𝐵 ⟺ (∀𝑥 ∈ 𝐴, ∃|𝑦 ∈ 𝐵|(𝑥; 𝑦) ∈ 𝑓)

1. Domínio, contradomínio e imagem de uma função

Dada uma função 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑦 chamamos de domínio da função 𝑓 o conjunto 𝐴. O contradomínio da função 𝑓 é o conjunto 𝐵 e o conjunto imagem, ou simplesmente imagem, da função 𝑓 é o subconjunto de 𝐵 formado por cada elemento 𝑦 pertencente a 𝐵 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑦, ou seja, cada elemento de 𝐵 que foi associado a um elemento de 𝐴 a partir da lei de associação da função.

1. [pic 3]Lei de associação de uma função

Toda função deve possuir uma regra ou lei de associação para relacionar cada elemento do domínio da função a um único elemento do contradomínio da mesma e essa lei deve ser bem definida. Vamos analisar o exemplo a seguir:

Exemplo 1. Seja a função 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 4 com 𝐴 = {−1; 0; 1; 2; 3} e

𝐵 = {3; 4; 5; 6; 7}. Determine o conjunto imagem de 𝑓.

O conjunto 𝐴 é o domínio da função 𝑓, enquanto o conjunto 𝐵 é o contradomínio. Para determinarmos o conjunto imagem de 𝑓 devemos determinar qual(is) elemento(s) de 𝐵 está(ão) associado(s) aos elementos de 𝐴 a partir da relação 𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 + 4.

𝑓(−1) = (−1)2 − 2 ∙ (−1) + 4 = 1 + 2 + 4 = 7

𝑓(0) = 02 − 2 ∙ (0) + 4 = 0 + 0 + 4 = 4

𝑓(1) = 12 − 2 ∙ 1 + 4 = 1 − 2 + 4 = 3

𝑓(2) = 22 − 2 ∙ 2 + 4 = 4 − 4 + 4 = 4

𝑓(3) = 32 − 2 ∙ 3 + 4 = 9 − 6 + 4 = 7

Note que o conjunto {3; 4; 7}, que é subconjunto de 𝐵, será o conjunto imagem da função 𝑓, pois o elemento 3 de 𝐵 foi associado ao elemento 1 de 𝐴, o elemento 4 de 𝐵 foi associado aos elementos 0 e 2 de 𝐴 e o elemento 7 de 𝐵 foi associado aos elementos −1 e 3 de 𝐴.

Observe que o elemento 3 ∈ 𝐵 é imagem do elemento 1 ∈ 𝐴, já o elemento 4 ∈ 𝐵 é imagem do elemento 0 ∈ 𝐴 e do elemento 2 ∈ 𝐴, enquanto o elemento 7 ∈ 𝐵 é imagem tanto do elemento −1 ∈ 𝐴 quanto do elemento 3 ∈ 𝐴.

1. Funções iguais

Considerando duas funções 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 e 𝑔: 𝐶 ⟶ 𝐷 dizemos que 𝑓 e 𝑔 são iguais (funções iguais) se, e somente se, tivermos

1. os mesmos domínios (𝐴 = 𝐶),
2. os mesmos contradomínios (𝐵 = 𝐷) e
3. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) para todo 𝑥 do domínio.

1. Como definir o domínio de uma função real de variável real a partir da lei de associação

Dada uma função real 𝑓 de variável real com lei de associação conhecida 𝑓(𝑥) = 𝑦 é possível determinar o domínio de 𝑓 de todos os reais 𝑥 que não ferem a lei de associação, ou

seja, podemos obter um subconjunto 𝔻𝑚 de ℝ em que cada 𝑥 ∈ 𝔻𝑚 será associado a somente um 𝑦 ∈ ℝ a partir de 𝑓(𝑥) e não existirá qualquer 𝑦 ∈ ℝ que possa ser associado a algum elemento 𝑥 ∈ ℝ tal que 𝑥 ∉ 𝔻𝑚.

Exemplo 2. Determine o domínio das funções reais de variável real 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑗 e 𝑘.