Ideais de um anel

Ideais de um anel comutativo

Definição: um subanel A é chamado um anel ideal de A se pra todo a ϵ A todo x ϵ I, x.a ϵ I e a.x ϵ I.

Ex: I ⊂ A, o subanel  I = {0}  esta contido no anel  A={ 0,1,2,3,4}

 

E se multiplicarmos o elemento de I por qualquer elemento de A teremos o elemento de I, então I é ideal de A.

Assim, um subanel de um anel A é um ideal se ele absorve os elementos de A, isto é,  a.I ⊂ I e I.a ⊂ I para todo a em A.

Um ideal I de A é próprio se I ≠ A.

Enunciaremos agora um teste para saber quando um subconjunto de A é um ideal de A.

Teorema: ( Teste para saber se é ideal). Um subconjunto não vazio de um anel I é um ideal de A se:

1. a-b ϵ I, para todo a, b ϵ I

2. x.a e a.x estão em I quando a ϵ A e x є I.

Exemplo: Para todo anel A, {0} e A são ideais de A. O ideal {0}   é chamado de trivial.

Exemplo: n[pic 1] com n є [pic 2] é um ideal de [pic 3]. No anel [pic 4]  os subconjuntos n[pic 5]= {±0, ±n, ±2n,... }, qualquer que seja inteiro n. De fato:

. se x, y ϵ n[pic 6], então x=r.n e  y=s.n, para convenientes inteiros r e s. Logo, x – y є n[pic 7];

. seja a ϵ [pic 8] e x ϵ n[pic 9]; então x= nq( q ϵ Z ) e, portanto, ax= (nq)= (aq), em que aq é inteiro, o que mostra que a.x ϵ n[pic 10].

Exercícios:

1. Verifique se o subanel {0,2} é um ideal do anel { [pic 11]₄, +, .}.

[pic 12]₄ é o anel das classes residuais modulo 4, os elementos são os possíveis restos da divisão por 4

I ={0,2} ⊂ {[pic 13]₄, +, . }

∀ x є I, ∀  a є [pic 14]₄  portanto x.a є I

X=0                         x=2

0.0=0 є I               2.0=0 є I

0.1=0 є I               2.1=2 єI

0.2=0 є I               2.2=0 є I

0.3=0 є I               2.3=2 є I       Logo {0,2} é ideal de [pic 15]₄