MATEMATICA

        ANHANGUERA EDUCACIONAL LTDA        

Faculdade Anhanguera de Piracicaba

Curso de Administração

NOME	CURSO	SERIE	TURMA
Anderson de AlmeidaRodrigues	Administração	3º	B
Débora Martins Fidelis	Administração	3º	B
Mônica Cristina de Souza	Administração	3º	B
Vanessa Moretti	Administração	3º	B

ATPS –

MATEMÁTICA APLICADA

Piracicaba

2015

---

Nome Grupo

Anderson de Almeida Rodrigues – RA 9094450192

Débora Martins Fidelis- RA 8073858630

Mônica Cristina de Souza- RA 1299251978

Vanessa Moretti- RA 8203900426

ATPS –

MATEMÁTICA APLICADA

ATPS apresentada, como exigência parcial para a obtenção de nota bimestral da disciplina Matemática Aplicada do curso de Administração da Faculdade Anhanguera de Piracicaba, sob a orientação da Prof. Pedro

Piracicaba

                2015

ETAPA 1

Passo 1:

 O nome da empresa que trabalhamos é DVMA-Consultoria Ltda.

 Quando se estuda a variação de uma função, é possível perceber as mudanças que ocorrem nessa função e, mais importante ainda, pode-se estabelecer a velocidade com que essa mudança ocorre. Por esse motivo, as derivadas representam o instrumental matemático mais importante para se compreender algumas concepções teóricas da Administração.

Acréscimos- Quando trabalhamos com uma função de uma variável y = f(x), definida num intervalo D , podemos determinar os seguintes acréscimos: a) Da variável – O acréscimo da variável é a diferença x que ocorre quando essa variável passa de um valor x0 para um valor x1 .

Da função – Tendo ocorrido um acréscimo na variável, virá, naturalmente como conseqüência, um acréscimo na função representado por y , que é a diferença entre os valores da função em x1 e x0 .

Exemplo: considerando a função f(x) = 3 4 6 + + x x , se x passa de x0 = –1 para x1 = 3, então: x = x1 – x0 x = 3 – (–1) x = 4 (acréscimo da variável) f(x0 ) = f(-1) = 1 2 2 1 3 4.( 1) 6 = = − + − + e f(x1 ) = f(3) = 3 6 18 3 3 4.(3) 6 = = + + y = f(x1 ) – f(x0 ) y = 3 – 1 y = 2. (acréscimo da função).

1.2 RAZÃO DOS ACRÉSCIMOS A razão dos acréscimos, que é também chamada de razão incremental, é o quociente entre o acréscimo da função e o acréscimo da variável. Essa razão é chamada de taxa média de variação. 1 0 1 0 ( ) ( ) x x f x f x x y − − = No exemplo anterior, essa razão será: x y = 4 2 = 0,5.

1.3 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO Considerando uma função y = f(x), definida num intervalo D e sendo x1 um elemento desse intervalo, indicamos f’(x1) como sendo a derivada de f(x) no ponto x1 . Essa derivada será igual ao limite da razão incremental dessa função, no ponto indicado, se esse limite existir e for finito. f(x1 ) = 1 1 ( ) ( ) 1 x x f x f x Limx x − − ou f’(x1 ) = x f x x f x Limx ( + ) − ( ) 1 1 0 Exemplo 1. Calcular a derivada da função f(x) = 2x2–5 no ponto x1 = 3. Temos: f(x1 ) = f(3) = 2.32 – 5 = 13. Assim, f’(3) = 0 0 3 3 2.3 18 3 2 18 3 2 5 13 2 2 3 2 3 = − − = − − = − − − x x x x Lim Lim x x O limite é indeterminado. Porém, levantando a indeterminação, teremos: f’(3) = [2( 3)] 2.(3 3) 2.6 12 3 2( 3).( 3) 3 3 = + = + = = − − + x x x x Lim Lim x x Portanto, o valor da derivada da função no ponto é 12.

Exemplo 2. Calcular a derivada da função f(x) = x2– 4, no ponto x1 = 3. Sendo f(x1 ) = f(x0 + x) = f(3 + x) = (3 + x)2– 4 = 9 + 6 x + ( x)2 – 4 Então: f(3 + x) = 5 + 6 x + ( x)2 f’(x1 ) = x f x x f x Limx x ( + ) − ( ) 1 1 = x x x Limx 5 + 6 + ( ) − 5 2 0 = x x x Limx (6 + ) 0 f’(3) = (6 ) 6 0 Lim + x = x Desta forma, podemos então concluir que: A derivada de uma função f é uma outra função indicada por f’ e corresponde ao limite, quando existe, da razão dos acréscimos. f’(x) = x y Limx 0 ou f’(x)= 1 1 ( ) ( ) 1 x x f x f x Limx x − − ou f’(x) = x f x x f x Limx ( + ) − ( ) 0 1.4 

REGRAS DE DERIVAÇÃO Em geral, para calcularmos a derivada de uma função, recorremos às chamadas regras de derivação, uma vez que aplicar a definição sempre é um exercício bastante trabalhoso. Essas regras são teoremas, todos já demonstrados por meio da definição. Nesse resumo teórico, estamos deixando de lado essas demonstrações, como informamos na apresentação, porém, o interessado pode encontrá-las nos livros indicados nas referências.

1. Derivada da função constante f(x) = K f’(x) = 0.

2. Derivada da função identidade f(x) = x f’(x) = 1 Particularmente f(x) = Kx f’(x) = K 3. Derivada de uma potência f(x) = xn f’(x) = n.xn-1 4. Derivada de funções trigonométricas f(x) = sen x f’(x) = cos x f(x) = cos x f’(x) = -sen x f(x) = tg x f’(x) = sec2x f(x) = sec x f’(x) = sec x. tg x f(x) = cotg x f’(x) = –cossec x f(x) = cossec x f’(x) = –cossec x. cotg x 5. Derivada da função exponencial f(x) = ax f’(x) = ax . Ln a com 0 < a 1 f(x) = ex f’(x) = ex 6. Derivada da função logarítmica f(x) = Loga x f’(x) = ax . Ln a com 0 < a 1 f(x) = Ln x f’(x) = 1/x. Exemplos: 1) f(x) = -20 f’(x) = 0 2) f(x) = 5x f’(x) = 5 3) f(x) = 3x4 f’(x) = 3.4x4-1 f’(x) = 12x3 4) f(x) = 2x f’(x) = 2x . Ln 2 5) f(x) = Log3 x f’(x) = . 3 1 x Ln 1.5

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA Considerando a função y = f(x), definida conforme o gráfico, temos; s reta secante à curva t reta tangente à curva A(x0 , f(x0 )) ponto de tangência ângulo entre a reta tangente e o eixo x ângulo entre a reta secante e o eixo x. No triângulo ABC retângulo, temos tg = x y Perceba que, à medida que o acréscimo da variável x diminui (tende a zero), o ponto B se aproxima do ponto A, fazendo com que a reta secante s se transforme na tangente t. Assim, o ângulo tenderá ao ângulo , sendo: x y Limx 0 = tg a , assim tg a é o coeficiente angular da reta. Nessas condições, temos: tg = x y Limx 0 = f’(x1 ) = m O coeficiente angular de uma reta tangente a uma curva, num ponto x = x1 , é igual à derivada da função nesse ponto.