Matematica

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COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III  3ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU                        www.professorwaltertadeu.mat.br

LISTA DE PRISMAS – 2012 - GABARITO

1) (PUC) Considere um paralelepípedo retangular com lados 2, 3 e 6cm. Calcule a distância máxima entre dois vértices deste paralelepípedo.

Solução. A distância máxima entre dois vértices é a diagonal do paralelepípedo.[pic 2]

[pic 3]

2) Um prisma hexagonal regular tem a área da base igual a [pic 4]cm². Calcular a área lateral sabendo que sua altura é igual ao apótema da base.

Solução. No prisma hexagonal regular a base é formada por seis triângulos equiláteros.  Como a área da base é informada, temos:[pic 5]

[pic 6].

O apótema do hexágono é a altura de um dos triângulos equiláteros que o forma. Esta medida coincide com a altura do prisma. Utilizando a fórmula da área lateral, temos:

[pic 7].

3) Calcular as dimensões de um paralelepípedo retângulo, sabendo-se que são proporcionais aos números 5, 8, 10, e que sua diagonal mede 63cm.

Solução. Considerando a, b, c as dimensões do paralelepípedo e utilizando a proporcionalidade indicada, temos:

[pic 8].

4) Determinar a diagonal de um paralelepípedo sendo 62cm² sua área total e 10cm a soma de suas dimensões.

Solução. A área total do paralelepípedo é dada por AT = 2(ab + bc + ac), onde a, b, c são as dimensões. A soma das dimensões será a + b + c = 10. Utilizando as operações algébricas dos produtos notáveis, temos:

[pic 9].

5) Calcular o volume de um prisma quadrangular regular cuja área total tem 144 m², sabendo-se que sua área lateral é igual ao dobro da área da base.

Solução. No prisma quadrangular regular, as bases são quadrados. As dimensões são, pois a, a, b. Utilizando a condição informada, temos:

[pic 10].

6) Quais as dimensões de um paralelepípedo retângulo se a soma de duas delas é 25m, o volume 900m³ e a área total 600m²?

Solução. Considere as dimensões a, b, c, onde a + b = 25m. Utilizando as fórmulas conhecidas, temos:

[pic 11].

Logo, as dimensões são: 6m, 10m e 15m.

7) (UFMG) Encontre todos os possíveis valores para a distância entre dois vértices quaisquer de um cubo de aresta 1.

Solução. As distâncias podem ser de três tipos conforme indicadas na figura.[pic 12]

i) A distância entre os vértices que forma a aresta: d1 = 1;

ii) A diagonal de uma face: [pic 13];

iii) A diagonal do cubo: [pic 14].

8) Dois cubos têm volumes V e 2V. Se a aresta do menor é L, então quanto vale a aresta do maior em função de L?

Solução. Considere L’ a aresta do cubo maior. Escrevendo as fórmulas de seus volumes, temos:

[pic 15].

9) (PUC-RS) Um prisma quadrangular reto tem base retangular de dimensões x e y. Sua altura mede z e a área total é 4x2. Sabendo que z = 2y, calcule o volume em função de x.

Solução. Escrevendo as fórmulas correspondentes, temos:

[pic 16].

10) A calha da figura a seguir tem a forma de um prisma triangular reto. O ângulo ABC mede 90º, e as medidas citadas são internas e em metros. O volume máximo de água que a calha poderá conter, em metros cúbicos, é igual a:

Solução.  As bases são triângulos retângulos isósceles. A altura será a medida 20m. Utilizando a fórmula do volume temos:[pic 17]

[pic 18].

11) (UFSC) Usando um pedaço retangular de papelão, de dimensões 12cm e 16cm, desejo construir uma caixa sem tampa, cortando, em seus cantos, quadrados iguais de 2cm de lado e dobrando, convenientemente, a parte restante. Calcule a terça parte do volume da caixa, em cm³.

Solução. As dimensões da caixa estão mostradas. Cada lado do papelão perdeu 2cm no total em suas dimensões. A altura da caixa é a medida do quadrado que foi retirado.[pic 19]

Calculando o volume da caixa e sua terça parte, temos:

[pic 20].

12) (UNIFOR) Um aquário com forma de paralelepípedo de faces retangulares tem 40cm de comprimento, 30cm de largura e 20cm de altura e contém água, que ocupa 2/3 de sua capacidade. Um objeto é mergulhado na água, de maneira que o conteúdo do aquário passa a ocupar 19600cm³. Qual volume, em centímetros cúbicos, do objeto?