ECONOMIA, MATEMÁTICA E AGREGADOS

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DOMINGO, 15 DE MAIO DE 2011

FUNÇÃO CUSTO, RECEITA E LUCRO (Aplicação de funções do primeiro grau)

Empresas são agentes econômicos responsáveis por transformar fatores de produção em mercadorias. Ou seja, compram terra, trabalho e capital e os transformam em produtos comercializáveis no mercado de bens e serviços.

A compra de fatores de produção gera custos (CT) para as empresas que geralmente são divididos entre custos variáveis totais (CVT), que dependem das quantidades produzidas, e custos fixos (CF) que não dependem da produção. Na linguagem matemática, podemos representar os custos totais como:

CT(q) = CVT + CF

Como foi dito acima, o custo variável total (CVT) depende da quantidade produzida, então, ao multiplicarmos o custo variável unitário pela quantidade produzida, encontramos o custo variável total:

CVT(q) = CV.q

Portanto,

CT(q) = CV.q + CF

Perceba que a função custo total possui as características de uma função do primeiro grau, pois CV pertence ao conjunto dos números reais positivos e cumpre a função de coeficiente angular, e CF, que também pertencente ao conjunto dos reais positivos, representa o coeficiente linear.

As empresas, ao venderem os seus produtos no mercado obtêm receita. Ou seja, a receita da empresa depende diretamente da quantidade vendida de produtos, portanto:

RT(q) = P.q

Para tal análise, consideraremos o mercado de bens e serviços com uma estrutura de concorrência perfeita, portanto, com preço constante. Nesse caso, a função receita também ser torna uma função de primeiro grau, com P representado o coeficiente angular, e coeficiente linear igual à zero.

Considerando o lucro como o valor monetário que sobre da receita após serem descontados todos os custos, temos que:

L(q) = RT(q) – CT(q)

Substituindo os valores de RT e CT na função lucros, teremos:

L(q) = P.q – CV.q – CF

Trabalhando algebricamente com a função lucro, teremos:

L(q) = (P – CV).q – CF

O que continua a ter características de função do primeiro grau, com coeficiente linear igual a P – CV e coeficiente linear igual a CF. Interpretando a função lucro, podemos concluir que a diferença entre o preço e o custo variável unitário, a cada produto vendido, vai contribuindo para que o custo fixo seja pago. Portanto, temos as seguintes condições para a função lucro:

ü (P – CV).q < CF implica em Prejuízo

ü (P – CV).q = CF implica em Ponto de Equilíbrio

ü (P – CV).q > CF implica em Lucro

Os professores da área de negócios costumam chamar a diferença ente preço e custo variável unitário de Margem de Contribuição Unitária, então:

MCU = P – CV

O ponto de equilíbrio é atingido quando a margem de contribuição unitária multiplicada pela quantidade produzida é igual ao custo fixo. Então, podemos concluir que o ponto de equilíbrio é atingido quando o Lucro é zero. Essa última condição nos motiva a encontrar o ponto de equilíbrio de outra forma, vamos às contas:

L(q) = (P – CV).q – CF

0 = (P – CV).q – CF

CF = (P – CV).q

q = CF/(P – CV)

q = CF/MCU

A última fórmula nos informa quantos produtos precisamos vender para que o custo fixo seja pago, e então, nos informa o ponto de equilíbrio operacional (PEO) da empresa. Outra condição que expressa o ponto de equilíbrio da empresa, considerando lucro zero é a seguinte:

0 = RT(q) – CT(q)

CT(q) = RT(q)

CV.q + CF = P.q

Se desenvolvermos algebricamente a última equação chegaremos novamente ao ponto de equilíbrio operacional.

Professor Eduardo M. Rubik

Esp. em Finanças

Postado por Eduardo M. Rubik às 13:13

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