INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA MÉDIAS E PROPORÇÃO

CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO LATO SENSU EM GESTÃO ESTRATÉGICA ECONÔMICA, FINANCEIRA E CONTÁBIL

DISCIPLINA: MÉTODOS QUANTITATIVOS

DOCENTE: Emília Satoshi Miyamaru Seo

QUARTA AULA: INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA MÉDIAS E PROPORÇÃO

INTRODUÇÃO

A distribuição normal é comumente utilizada quando não conhecemos a média populacional, proporção populacional, etc. Utilizam-se dados da amostra para fazer inferência sobre a população – essa parte da estatística é chamada inferência estatística.

Por exemplo: μ e σ são medidas como parâmetros populacionais;

                [pic 1] e s são medidas como estatísticas amostrais;

DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA = [pic 2]

        Um dos procedimentos estatísticos mais comuns é o uso de uma média de amostra [pic 3] para fazer inferência sobre a média da população μ..

[pic 4]

[pic 5][pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10][pic 11]

[pic 12]

        A distribuição de probabilidades para todos os valores possíveis da média da amostra é chamada de distribuição amostral da média da amostra [pic 13].

________________________________________________________________________A distribuição amostral da média de [pic 14] é a distribuição de probabilidades de todos os valores possíveis da média da amostra, [pic 15].

________________________________________________________________________

1. Vamos começar considerando a média de todos os possíveis valores de [pic 16], que é denominado de valor esperado de [pic 17].

Valor esperado de [pic 18] = E([pic 19]), = μ. (média da população)

A média da distribuição amostral das médias é igual à média da população μ.

1. Vamos definir agora, o desvio padrão da distribuição amostral de [pic 20]. Usaremos a seguinte notação [pic 21].

        Sendo : n = tamanho da amostra;

                  N = tamanho da população;

                  μ = média da população;

                  σ = desvio padrão populacional;

                  [pic 22] = média da amostra.

                  [pic 23] = desvio padrão da distribuição amostral de [pic 24].

Pode-se demonstrar que com a amostragem aleatória simples, o desvio padrão de [pic 25] depende de a população ser finita ou infinita. As duas expressões para desvio padrão de [pic 26] são:

• Para população infinita:

                                [pic 27] = [pic 28]   

O resultado de desvio padrão da distribuição normal ([pic 29]) é muito importante porque, na prática, não conhecemos μ, mas apenas os resultados de nossa amostra [pic 30] e s (desvio padrão da amostra).

• Para população finita:

                                [pic 31] = [pic 32][pic 33], desta expressão: a parcela [pic 34] é chamada de fator de correção da população finita.

REGRA GERAL:

1. U se sempre a expressão: [pic 35] = [pic 36] , para calcular o desvio padrão de [pic 37] para:

• A população seja infinita;
• A população seja finita e o tamanho da amostra seja menor que a igual a 5% do tamanho da população, isto é, n/N ≤ 0,05.

1. Use sempre a expressão [pic 38] = [pic 39][pic 40], para calcular o desvio padrão de [pic 41] para n/N > 0,05.

OBS.: Quando σ ( desvio padrão da população) for desconhecido, o erro padrão da média pode ser estimado usando-se o desvio padrão da amostra como um estimador do desvio padrão da população:

Ou seja:                                [pic 42] = [pic 43]

• Quando inclui o fator de correção: 

[pic 44] = [pic 45][pic 46]

Exemplos:

1. Suponha que a média de uma população bastante grande seja μ = 50 e o desvio padrão σ = 12. Determinamos a distribuição de amostragem das médias das amostras de tamanho n = 36, em termos de valor esperado e de erro padrão da distribuição, da seguinte forma:

[pic 47] = [pic 48] = [pic 49] = 2

1. Um auditor toma uma amostra aleatória de tamanho n = 16 de um conjunto de N = 100 contas a receber. Não se conhece o desvio padrão dos valores das 100 contas a receber. Contudo, o desvio padrão da amostra é s = $57,00. Determinamos o valor do erro padrão da distribuição de amostragem da média da seguinte forma:

[pic 50] = [pic 51][pic 52] = [pic 53][pic 54] = $13,13

TEOREMA DO LIMITE CENTRAL

• Um teorema em estatística que conduz ao uso do desvio padrão da média é o TEOREMA DO LIMITE CENTRAL para n ≥ 30 ⇒ à medida que se aumenta o tamanho da amostra, a distribuição de amostragem da média se aproxima da forma da distribuição normal, qualquer que seja a forma da distribuição da população.

Onde z, neste caso fica:

z = [pic 55]

Onde z = nível de confiança = desvio padrão. Em geral, nas ciências sociais, usamos um nível de confiança de 95% de confiança como um padrão arbitrariamente aceitável.

...