A Matemática Básica

AP1 - Matemática Básica - 2018/1 - Gabarito

1ª questão: [1,5] Essa é uma questão de efetuar cálculos. a) Simplifique A = √82+62 3+1 3 .( 3 4−1/2) −1 . b) Simplifique B = 2+√ 3 (1+√3)2 . c) Calcule o valor de A  B.

Solução: a) A = √82+62 3+1 3

.( 3 4− 1 2

) −1

= √64+36 10 3

.( 3.√4)

−1

= 3.√100 10

(3.2)−1 =

= 3.1 6

= 1 2 .

b) B = 2+√ 3 (1+√3)2 = 2+√ 3 1+2√3+3

= 2+√ 3 4+2√3

= 2+√ 3 2(2+√3)

= 1 2 .

c) A  B = 1 2

− 1 2 = 0.

2ª questão: [1,5] Encontre a representação decimal de w a partir da seguinte representação da reta numérica. Explique como pensou.

Solução: Os traços verticais da figura dividem o intervalo [1,22, 1,24] em 6 partes. O tamanho desse intervalo é 1,24 – 1,22 = 0,02, donde cada intervalo entre traços verticais mede 0,02 : 6 = 0,00333... (De forma mais geométrica, basta visualizar o ponto 1,23 e perceber que cada um desses intervalos mede 1/3 de 0,01). Como w está posicionado dois traços verticais depois de 1,22, temos w = 1,22666... .

3ª questão: [1,0] Represente na reta numérica o conjunto (3, 4)  {4, 5}. Faça também uma legenda para a sua figura. Solução:

Legenda:    Representação da reta numérica.

 Indicação de um extremo do intervalo sobre a reta e de que esse extremo não pertence ao conjunto.

 Indicação de um ponto específico que pertence ao conjunto.       Indica que todos os números entre dois extremos pertencem ao conjunto.

4ª questão: [2,0] Considere que a = 2,334590013456778123004... representa um número irracional. Encontre um número racional b tal que: a)  7 3 < 𝑏 < 𝑎 b) |a  b|=d(a,b) > 1/788909.

Solução: a) Note que  7 3

= 2,33333...= 2,3 ̅ é uma dízima periódica. Existem várias possibilidades para a escolha de 𝑏, por exemplo,  𝑏 = 2,334. Observe que b é racional, pois sua representação decimal tem um número finito de casas decimais, também 2,334 = 2334 1000 . Outra possibilidade seria 𝑏 = 2,334444....= 2,334 ̅, uma dízima periódica.

b) Este item é bem mais simples, basta o aluno escolher um número racional cuja diferença para a seja “grande” ou, em linguagem mais intuitiva, cuja distância de a seja grande. Por exemplo, b = 9 certamente satisfaz |a  b| > 1/788909. De fato, a – 9 > 6.

5ª questão: [2,0] João comprou um fogão e uma televisão. Porém, por conta da crise econômica, teve que se desfazer dos aparelhos, vendendo-os por R$600,00 cada um. Na venda do fogão teve um lucro de 25% do valor de compra e na venda da televisão prejuízo de 20% do valor de compra. a) Determine quanto João pagou por cada aparelho. b) No total, João teve lucro ou prejuízo com a venda dos dois itens? Solução: Vale lembrar que lucro é dado por preço de vendo menos preço de compra e prejuízo é dado por preço de compra menos preço de venda. a) Se F é o valor de compra do fogão então 600 – F = 25%F, donde 600 = 1,25F, donde F = 600 : 1,25 = 480. Ou seja, João pagou R$ 480,00 pelo fogão.  Se T é o valor da televisão então T – 600 = 20%T, donde 0,8T = 600, donde T = 600 : 0,8 = 750. Assim, João pagou R$ 750,00 pela televisão. b) João gastou ao todo 480 + 750 = 1230 reais, na compra dos dois itens. Como ele obteve de volta só 1200 reais, João teve um prejuízo de R$ 30,00 com a venda dos dois itens.

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