DESIGUALDADE ISOPERIMÉTRICA: ÁREAS DE POLIGONOS REGULARES COM PERIMETRO CONSTANTE

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DESIGUALDADE ISOPERIMÉTRICA: ÁREAS DE POLIGONOS REGULARES COM PERIMETRO CONSTANTE

Antonio dos Santos Filho

Universidade Federal da Bahia

Brasil

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Maria Auxiliadora Lisboa Moreno Pires

Universidade Estadual de Feira de Santana

Brasil

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Resumo

Segundo Zalman Usiskin (1995), durante toda a matemática escolar, omitem-se os teoremas que não podem ser demonstrados por métodos padronizados da Geometria euclidiana. Um dos exemplos citados por Usiskin é a desigualdade isoperimétrica – de todas as figuras planas com um dado perímetro, o círculo é a de maior área – que quase sempre é ignorada. Esse teorema, contudo é importante no mundo real e pode ajudar aos alunos a compreender a diferença entre perímetro e área, justifica Usiskin. O trabalho que pretendemos apresentar é uma experiência prática desse teorema, cuja inspiração brotou de uma das atividades, realizada nos cursos de Capacitação de Professores do Ensino Fundamental, no Centro de Aperfeiçoamento de Professores do Estado da Bahia – Instituto Anísio Teixeira / Secretaria da Educação do Estado da Bahia.

Palavras chave: perímetro, área, matemática

1. COMENTÁRIO INICIAL

O trabalho com a Matemática nas instituições regulares de ensino, na maioria das vezes, automatiza determinados procedimentos com os conteúdos, em sala de aula. A fim de não estarmos apenas repetindo processos, memorizando regras e fórmulas, devemos compreender os fundamentos das atividades a serem passadas aos estudantes e como professores assumir compromissos com o aprendizado, a organização e o planejamento de situações didáticas que explorem várias dimensões do trabalho desenvolvido em sala de aula.  Utilizar meios para atuar como organizador de situações desafiadoras, selecionando atividades e materiais que despertem a curiosidade, fazendo com que os estudantes percebam com clareza os significados e as possibilidades de atuar de modo autônomo participando e contribuindo com idéias e estratégias na resolução de problemas.

Através da organização, discussão e análise de várias situações didáticas, o trabalho a ser desenvolvido no minicurso busca, sobretudo, possibilitar vivenciar esse processo de ensino e aprendizagem de Matemática, de forma dinâmica com a construção e utilização de atividades a ser trabalhadas, em cursos regular do Ensino Fundamental, levando os alunos a formular conjecturas, generalizar, perceber e descrever os procedimentos na experimentação das situações oferecidas em classe.

2. OBJETIVO GERAL:

Demonstrar através de uma abordagem não padronizada da Geometria plana, que de todas as figuras com um dado perímetro o circulo é o de maior área.

 

3. OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

• Comparar as Áreas de superfícies de polígonos regulares com perímetro constante;
• Mostrar que a Área é uma função do número de lados de um polígono regular (perímetro constante);
• Estabelecer uma fórmula para calcular a Área de um polígono regular, convexo de perímetro nl.

 

 4. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

Uma parte considerável do curso intitulada Oficina de Ensino de Matemática, que se realiza desde 1995 com professores, alunos dos cursos de Licenciatura em Matemática, estudantes de pós-graduação é destinado ao trabalho com Geometria, com destaque para a parte experimental, que inclui dentre alguns conceitos o de perímetro e o de área de superfície plana.

Uma das atividades práticas consiste em distribuir 16 metros de barbante para os grupos de professores cursistas, para que sejam demarcadas superfícies, de forma mais conveniente para cada grupo.

De um modo geral as formas escolhidas pelos cursistas são quadriláteros, embora a forma triangular, pentagonal, hexagonal apareça. A etapa que se segue, a esse processo inicial, é discutir com os participantes sobre percepção dos professores quanto á variação de quantidade de superfície, com a mesma quantidade de contorno. Isto é, áreas distintas para o mesmo perímetro.

Essa constatação fica mais evidenciada, quando sugerimos ocupar a superfície convidando os participantes a preencherem o espaço demarcado com eles mesmos. Dependendo da forma geométrica escolhida pelos grupos, um número variável de professores preenche totalmente, a superfície demarcada, 10 a 12 professores, por exemplo, são suficientes para o preenchimento de algumas das figuras construídas; em outros casos, temos um número variando de 12 a 15, 15 a 20, 20 a 25 professores, necessários para a ocupação total. Os professores se divertem ao perceberem que dependendo da figura selecionada um grupo menor ou maior de colegas pode sentir-se acolhido dentro da superfície. As brincadeiras, os risos são constantes na realização da prática. A parte intuitiva dessa atividade é concluída, quando sugerirmos, ocupar a maior superfície através da borda, fazendo-se movimentos de tal forma, que a superfície considerada se aproxime da forma circular. O que observamos é que o grupo, formado em média por 35 professores, ocupa a superfície, sobrando ainda alguma parte. Numa fase posterior em sala de aula, discutimos a atividade realizada com o barbante e passamos a trabalhar com modelos recortados com cartolina para demonstrar de modo experimental as fórmulas de áreas dos polígonos notáveis.

Em relação á desigualdade, comparamos os polígonos regulares de 3, 4, 6 e 8 lados, respectivamente, com o círculo, todos com o mesmo perímetro. A partir daí, duas principais conclusões são constatadas pelo grupo:

1. O crescimento da área é uma função do número de lados;

2. O círculo como polígono limite, quando o número de lados tende para o infinito é o que tem área máxima.

 

5. MATERIAIS DIDÁTICOS

Neste trabalho criaremos possibilidades de facilitar a construção dos nas aulas de matemática.

Para as atividades planejadas podemos utilizar vários recursos didáticos: régua, compasso, esquadro, transferidor, lápis, borracha, tesoura, cartolina; calculadora.