Aplicação De Equação Diferencial

Introdução

Neste trabalho vamos demonstrar um exemplo pratico de equação diferencial aplicada em uma condição real do nosso dia a dia, para que desta forma possamos compreender sua importância e eficiência.

Equação Diferencial

Equação Diferencial é toda equação cuja suas incógnitas são funções e que contem ao menos uma derivada ou diferencial destas funções.

Exemplo:

xdy – ydx = 0

A palavra “linear” significa linear em y e y’; nenhuma potência maior nem funções em y ou y’ aparecem. A dependência de x pode ser mais complicada. Soluções de equações lineares têm propriedades agradáveis. Por exemplo, a solução existe onde p(x) e f(x) são definidos e tem a mesma regularidade (quer dizer: é igualmente agradável). Mas mais importante para nós no momento: existe um método para resolver equações lineares de primeira ordem.

Y’+p(x)y=f(x)

Primeiro determinamos uma função r(x) tal que

r(x)y’ + r(x)p(x)y = d/dx[r(x)y].

Depois podemos multiplicar ambos os lados por r(x) para obter

D/dx [r(x)y] = r(x)f(x):

Agora integramos ambos os lados. O lado direito não depende de y e o lado esquerdo está escrito como uma derivada duma função. Depois calculamos y. A função r(x) é chamada o fator integrante e o método é chamado o método do fator integrante.

Observe que r(x)y’ + r(x)p(x)y = r(x)y’ + r’(x)y. Portanto, estamos procurando uma função r(x), tal que se nós a derivamos obtemos a mesma função multiplicada por p(x).

Verificamos o exemplo seguinte:

- Exemplo de crescimento exponencial

Denotem t o tempo (em segundos) e P a população. Nosso modelo vai ser

dP/dt= kP,

para alguma constante positiva k > 0.

Suponhamos que tenha 100 bactérias no instante 0 e 200 bactérias no instante 10s. Quantas bactérias vai ter um minuto do instante 0 (em 60 segundos)? Primeiro temos de resolver a equação. Nós afirmamos que a solução é dada por

P(t) = Ce^kt;

onde C é uma constante. Vamos tentar:

dP = Ckekt = kP.

dt

Nós não conhecemos C nem k. Mas nós sabemos algo. Nós sabemos que P(0) = 100, e nós também sabemos que P(10) = 200. Vamos colocar estas condições e ver o que acontece.

100 = P(0) = Ce^k0 = C;

200 = P(10) = 100 e^k10.

Portanto, 2 = e^10k ou ln2/10 = k _ 0;069. Então nós sabemos que

P(t) = 100 e^(ln 2)t=10 _ 100 e^0:069t.

No instante t = 60 (1 minuto) a população é P(60) = 6400.