Aplicação de Vetores

Uma dessas importantes relações da Geometria Analítica é a distância entre um ponto e uma reta no plano cartesiano.

A distância entre um ponto e uma reta é calculada unindo o próprio ponto à reta através de um segmento, que deverá formar com a reta um ângulo reto (90º). Para estabelecer a distância entre os dois necessitamos da equação geral da reta e da coordenada do ponto. A figura a seguir estabelece a condição gráfica da distância entre o ponto P e a reta r, sendo o segmento PQ a distância entre eles.

Estabelecendo a equação geral da reta s: ax0 + by0 + c = 0 e a coordenada do ponto P(x0,y0), conseguimos chegar à expressão capaz de calcular a distância entre o ponto P e a reta s:

Essa expressão surge de uma generalização feita, podendo ser utilizada nas situações em que envolve o cálculo da distância entre um ponto qualquer e uma reta.

Exemplo

Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância entre A e r utilizando a expressão dada anteriormente.

Temos que:

x: 3

y: -6

a: 4

b: 6

c: 2

Considerando uma reta r que está representada através das seguintes equações paramétricas: x = -6 + 2t e y = 1 – t, com parâmetro igual a t, pois é a incógnita semelhante às duas equações. Podemos representá-la na forma geral, seguindo as orientações abaixo:

Das duas equações x = -6 + 2t e y = 1 – t escolhemos uma e isolamos a incógnita semelhante (parâmetro).

y = 1 – t

y – 1 = -t

t = - y + 1

Agora substituímos na outra equação e igualamos a equação a zero para obter a sua forma geral.

x = -6 + 2t

x = - 6 + 2(- y + 1)

x = - 6 – 2y + 2

x = - 4 – 2y

x + 2y + 4 = 0

Exemplo:

Obtenha a equação reduzida da reta representada pelas equações paramétricas, em que t é um parâmetro real.

x= t + 9

y= 2t – 1

Das duas equações x= t + 9 y= 2t – 1 escolhemos uma e isolamos a incógnita semelhante (parâmetro).

x= t + 9

x – 9 = t

Para obter a forma reduzida y = mx + q da reta, basta substituir o valor de t na outra equação.

y= 2t – 1

y = 2 (x – 9) – 1

y = 2x – 18 – 1

y = 2x – 19; com m = 2 e q = -19.

Podemos representar uma reta no plano cartesiano por meio da condição geométrica ou por uma equação matemática. Em relação à equação matemática, a reta pode ser escrita nas seguintes formas: reduzida, segmentária, geral ou paramétrica. Vamos abordar a representação de uma equação reduzida de reta, demonstrando três possíveis situações.

Vamos considerar a equação da reta que passa por um ponto Q (x1, y1), com coeficiente angular a, observe:

y – y1 = a * (x – x1)

Escolhendo ao acaso, o ponto (0, b) e determinando que a reta o intersecte, temos que:

y – b = a * (x – 0)

y – b = a * x – a * 0

y – b = ax

y = ax + b

Portanto, a equação reduzida da reta possui a seguinte lei de formação:

y = ax +b

1ª situação

Utilizando o ponto P1(2, 7), no qual x = 2 e y = 7, temos:

y – y1 = a * (x – x1)

y – 7 = 4 * (x – 2)

y – 7 = 4x – 8

y = 4x – 8 + 7

y = 4x – 1

2ª situação

A forma geral da equação reduzida da reta é dada pela expressão: y = ax + b. Utilizando o ponto P1(2, 7), temos:

y = ax + b

7 = a * 2 + b

2a + b = 7

Utilizando o ponto P2(–1, –5), temos:

–5 = a * (–1) + b

–5 = –a + b

–a + b = –5

Resolvendo o sistema, , determinamos o coeficiente angular e o linear.

Substituindo os valores de a e b na expressão matemática, temos:

y = ax + b

y = 4x – 1

3ª situação

Podemos construir uma matriz quadrada com os pontos fornecidos e um ponto genérico (x, y). O determinante dessa matriz será a equação da reta. Observe:

P1(2, 7) e P2(–1, –5)

Aplicando Sarrus: produto dos termos da diagonal principal subtraído do produto dos termos da diagonal secundária.

[(x * 7 * 1) + (–1 * 1 * y) + (–5 * 2 * 1)] – [(–1 * 7 * 1) + (y * 2 * 1) + (–5 * x * 1)] = 0

[7x – y –10] – [–7 + 2y – 5x] = 0

7x – y – 10 + 7 – 2y + 5x = 0

12x – 3y –