Curso De Administração Unopar

FUNÇÃO

O estudo do produto cartesiano serviu de base para aprendermos sobre as relações. Estas agora são o alicerce para o estudo das funções, por isto, para que você assimile melhor este conceito, é importante que você revise os tópicos sobre produto cartesiano e relações.

As funções nada mais são que um tipo particular de relação que possuem uma propriedade específica.

Para iniciarmos o estudo das funções vamos começar analisando a relação , cujo diagrama de flechaspode ser visto ao lado:

Observe que todos os elementos do conjunto A possuem uma flecha em direção a um único elemento do conjunto B.

Em outras palavras, não há no conjunto A qualquer elemento que não esteja associado a um elemento do conjunto B e os elementos de A estão associados a apenas um elemento de B.

Por possuir tal propriedade, dizemos que esta relação é uma função f de A em B representada por:

Domínio da Função

Ao conjunto A damos o nome de domínio da função.

O domínio é o conjunto de partida. Ele composto de todos os elementos do conjunto de partida.

Neste nosso exemplo o domínio da função f é representado por D(f) = { -3, 0, 3 }, ou seja, o domínio desta função contém todos os elementos do conjunto A.

Como supracitado, para que tenhamos uma função, todos os elementos do domínio devem estar associados a um e somente um dos elementos de B.

Contradomínio da Função

Ao conjunto B damos o nome de contradomínio da função.

O contradomínio é o conjunto de chegada. Ele composto de todos os elementos do conjunto de chegada.

Em nosso exemplo o contradomínio da função f é representado por CD(f) = { 0, 9, 18 }, isto é, o contradomínio desta função contém todos os elementos do conjunto B.

Segundo o conceito de função não é necessário que todos os elementos de B estejam relacionados aos elementos do domínio. Note que no conjunto B o elemento 18 não recebe nenhuma flecha, isto é, não está relacionado a qualquer elemento de A.

Uma outra coisa que deve ser observada é que em uma função os elementos do contradomínio podem receber mais de uma flechada, se associando, portanto, a mais de um elemento do domínio. Como exemplo temos o elemento 9 que está associado aos elementos do domínio -3 e 3.

Imagem da Função

A imagem da função dependendo do caso é o próprio contradomínio, ou então é um subconjunto seu.

Os elementos do conjunto imagem são todos os elementos do contradomínio que estão associados a algum elemento do domínio. No exemplo que estamos utilizando o conjunto imagem é representado porIm(f) = { 0, 9 }, pois 0 e 9 são todos os elementos do CD(f) que estão associados a algum elemento do D(f).

Em resumo para a função de exemplo temos:

Domínio da Função: D(f) = { -3, 0, 3 }

Contradomínio da Função: CD(f) = { 0, 9, 18 }

Conjunto Imagem da Função: Im(f) = { 0, 9 }

Nesta função exemplo o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio, pois o elemento 18 de B não está contido no conjunto imagem, por não estar associado a nenhum elemento do domínio.

Definição de uma Função

Esta função f de A em B, , é definida como:

Ou ainda como:

Veja também que representamos f(x) ou y em função de x. A variável f(x) ou y é chamada de variável dependente, pois depende de x, já a variável x é chamada de variável independente, pois independentemente dey, pode representar qualquer elemento do domínio.

A definição da função leva em conta tanto o domínio quanto do contradomínio, relacionando-os. O conjunto imagem Im(f), depende não só da regra de associação, no caso f(x) = x2, como também do D(f) e do CD(f).

Omissão do Domínio e do Contradomínio na Definição de uma Função

É provável que em muitos livros e em outros sites você tenha encontrado a definição de muitas funções, nas quais não foram feitas menções nem ao contradomínio, nem ao contradomínio das mesmas.

É que nestes casos se assume que o contradomínio seja o conjunto dos números reais, .

Mas qual será o domínio?

Isto depende da regra de associação em si, por isto vamos tomar como exemplo a seguinte função:

O contradomínio é:

O domínio é o próprio conjunto dos números reais, desconsiderando-se os elementos para os quais não seja um número real.

Como sabemos não existe um quociente real resultante da divisão por zero. Em outras palavras, se x = 0, isto é, se o domínio considerar o elemento 0, não existirá um elemento no contradomínio que possa ser associado a x, elemento este que deve pertencer a Im(f). Pela definição de função todo elemento do domínio deve possuir uma imagem.

Então devemos desconsiderar o número 0 e mais nenhum outro, pois a divisão de 1 por qualquer outro número real produz um quociente real.

O domínio desta função pode então ser definido por:

Ou ainda pelo conjunto dos números reais desconsiderando-se o zero:

Logo a definição desta função poderia ser:

No caso da função é muito fácil de se identificar que x não pode ser igual a 0, mas e no caso da função abaixo?

Bom, neste caso pelo mesmo motivo da função anterior o denominador da fração não pode ser igual a zero, além disto o radicando no denominador