Estudo MOvimentos

Física e matemática Etapa 1/passo1,2,3 Atpsi

Em capítulos anteriores mostramos como correlacionar, através de três maneiras distintas, as medidas da posição s e do instante t em que um determinado objeto ocupa esta posição. Estas três maneiras foram: tabelas, gráficos e expressão matemática obtida no Excel. No primeiro caso (tabela) temos uma função do tipo s = fe(t) e cujo domínio retrata o conjunto dos valores experimentais de t (e daí o fe Þ função experimental). O gráfico construído (gráfico de dispersão) deixa implícita a nossa convicção na continuidade do movimento. A equação, por sua vez, traduz esta convicção para uma esperança matemática, qual seja, a de que a função s = f(t) venha a representar todos os possíveis valores da posição no decorrer do tempo (equivale a dizer: estamos expandindo o domínio da função para um contínuo representado por números reais).

No caso do movimento uniforme, por exemplo temos equação no do tipo:

s = b + ct eq. 5.1

em que b e c são constantes. Esta equação, obtida para movimentos de objetos isolados e em condições quase inerciais, está em total acordo com o primeiro princípio da mecânica. Não se trata pois de um achado matemático fortuito e obtido através da manipulação de dados experimentais. As constantes b e ctêm um significado físico: b nada mais é senão a posição ocupada pelo objeto no tempo inicial (t = 0):

s(0) = b + c.0 = b = so

E c é a velocidade do objeto de estudo, aquela que pelo primeiro princípio deveria se manter constante no referencial que está sendo levado em consideração:

s - so = c(t - to)

[em que to foi assumido como igual a 0]

ou

c = (s - so) / (t - to) = Ds / Dt = v

A equação horária do movimento retilíneo e uniforme é, portanto:

s = so + vt eq. 5.2

e neste caso observamos que ela é concorde com a esperança matemática (linha de tendência )

A equação da velocidade

Nos dias atuais isto chega a ser corriqueiro. Estando no volante de um automóvel, basta um ligeiro desvio de olhar para o velocímetro e a medida de uma velocidade instantânea terá sido realizada. Se a velocidade se mantiver constante durante um certo intervalo de tempo Dt, facilmente saberemos calcular o espaço percorrido neste intervalo de tempo: Ds = v.Dt. Vamos então complicar um pouquinho o problema.

Suponha que você é passageiro de um veículo e está filmando o desempenho do velocímetro. Em certo momento, ao se aproximar de um posto da patrulha rodoviária, o motorista observa uma placa de limite de velocidade: 50 km/h. Rapidamente ele solta o pé do acelerador e pisa no freio, procurando se manter no novo limite de velocidade. Você registrou o que aconteceu no velocímetro, como resultado desta manobra, e está agora examinando a tela da filmadora.

As perguntas que surgem são as seguintes: 1) Seria possível, com este filme, estudarmos o comportamento da velocidade do automóvel no decorrer do tempo? 2) Qual o significado de um Dv/Dt? Seria, por acaso, aquilo que costumamos chamar por aceleração (média no caso)? 3) Se sim, existiria também uma aceleração instantânea, a exemplo da velocidade instantânea? 4) Se novamente sim, a aceleração instantânea seria uma derivada da velocidade em relação ao tempo? 5) Como estimar o espaço percorrido quando a velocidade se mostra variável?

Espero que você tenha respondido sim às quatro primeiras perguntas. Vamos então prosseguir cadenciando as idéias aí contidas.

Poderíamos raciocinar em termos de fotos estroboscópicas do velocímetro em funcionamento. Esta tabela, do tipo v=fe(t), vai sendo construída, com intervalos de tempo iguais, à medida em que o imagem a seguir nos mostra.

O gráfico que você obteve assemelha com aquele mostrado abaixo (figura 5.14). A linha de tendência aí escolhida foi a polinomial de ordem 3 (a de ordem mais baixa a se ajustar razoavelmente bem aos valores experimentais).

Figura 5.14: Explicação no texto.

Agora apague a linha de tendência e procure examinar o gráfico com os olhos de um físico que conhece os detalhes experimentais. Em outras palavras, que conhece a história da experiência. Como você a conhece, é possível que note a existência de pelo menos três regiões distintas no gráfico. E se olhar mais esmiuçadamente, talvez amplie esse número para cinco (figura 5.15). Que dizer dessas cinco regiões?

Figura 5.15

Inicialmente temos uma região (1) em que a velocidade decai de maneira linear (0 ≤ t ≤ 1s). Na parte central (região 3) idem (1,5 ≤ t ≤ 3s), ainda que de forma mais acentuada. E na parte final (região 5) a velocidade mantém-se praticamente constante (3,5 ≤ t ≤ 4,375s). Nos trechos intermediários (regiões 2 e 4) a variação da velocidade não é linear mas sim representada por curvas: a primeira de concavidade para baixo e a segunda de concavidade para cima. Procure interpretar estes dados frente à história conhecida. Se não conseguir, prossiga com a leitura.

O primeiro reflexo do motorista, ao visualizar algo de estranho, mas não exatamente a sua frente (no caso, a aproximação de um posto policial com o aviso de redução do limite de velocidade), é tirar o pé do acelerador. A seguir, mentalizada a situação e traçada a estratégia a ser seguida (o que ocorre em frações de segundos), começa a frear o carro de uma maneira adequada para o objetivo proposto. Tudo isto leva tempo, por menor que ele seja.

Ao tirar o pé do acelerador (que a rigor não estava acelerando, mas sim mantendo constante a velocidade do carro) a velocidade vai sendo reduzida (desaceleração) em virtude do atrito (principalmente pneus-solo). Isto responde pela primeira região que, no caso, dura cerca de 1 segundo. Ao pisar no freio ocorre uma desaceleração forçada, a sobrepor-se àquela devida ao atrito. A mudança da fase 1 para a fase 3 é gradativa (neste caso dura aproximadamente meio segundo), até que o motorista encontre a posição ideal do freio a corresponder a uma desaceleração uniforme (fase 3). Entre a fase 3 e a fase 5 ocorre uma segunda mudança gradativa (também de meio segundo) e que corresponde à retirada do pé do freio