História da Matemática

Determinante

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Em matemática, determinante é uma função matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar; ela transforma essa matriz em um número real.1 Esta função permite saber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

Índice [esconder]

1 Definição

2 Propriedades

3 Determinante de uma matriz de ordem 1

4 Determinante de matriz de ordem 2

5 Determinante de matriz de terceira ordem

6 Determinantes de ordem maior ou igual a 4

6.1 Exemplo

7 Matrizes por

8 Cálculo de determinantes por triangularização

9 Ver também

10 Notas e referências

10.1 Notas

10.2 Referências

11 Bibliografia

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja M o conjunto das matrizes com n linhas e n colunas sobre um corpo K. Pode-se provar que existe uma única função f com as seguintes propriedades:

f é n-linear e alternada nas linhas das matrizes;

f(In) = 1, onde In é a matriz identidade.

Esta função chama-se determinante.

O determinante de uma matriz A representa-se por |A| ou por det(A).Nota 1

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O determinante também é uma função n-linear e alternada nas colunas da matriz;

O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta: det(A) = det(AT);2

Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero;

Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de A como soma de duas parcelas então det(A) é a soma de dois determinantes de ordem n cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna uma das parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;

Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal;

Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A por um escalar λ ∈ K, então o determinante da nova matriz é igual ao determinante de A multiplicado por λ;

Se permutarmos duas linhas ou colunas de A então o determinante da nova matriz é −det(A);

Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0;

Se somarmos a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova matriz é igual ao de A;

Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det(AB) = det(A).det(B);3

Se A é invertível, então det(A−1) = 1⁄det(A), de onde resulta que se A é invertível então det(A) ≠ 0;

Se A é ortogonal, então det(A) = ±1.

Determinante de uma matriz de ordem 1[editar | editar código-fonte]

O determinante da matriz A de ordem n = 1, é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada de 1ª ordem M=[a_{11}] temos que o determinante é o número real a_{11}:

det(M) = a_{11}.

Por exemplo:

A = ( 3 ), então det(A) = 3.

Determinante de matriz de ordem 2[editar | editar código-fonte]

A área do paralelogramo é o valor absoluto do determinate da matriz formada pelos vetores que representam seus lados.

O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e o produto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termo secundário da matriz.

\hbox{det} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=ad-bc.

Por exemplo, o determinante da matriz \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} é dado por: 0.(-1) - 2.1 = 0 - 2 = -2.

Determinante de matriz de terceira ordem[editar | editar código-fonte]

O determinante de uma matriz 3x3 é calculado através de suas diagonais.

Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta no seguinte cálculo:

\det