LIÇÃO equacionando

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A U L A

Equacionando

os problemas

Nossa aula começará com um quebra- cabeça

de mesa de bar - para você tentar resolver agora.

Observe esta figura feita com palitos de fósforo. Mova de lugar exatamente

2 palitos, de modo a transformá-la em 4 quadrados iguais, sem sobrar nenhum

palito. Você pode fazer isso com palitos ou no desenho.

Conseguiu resolver o quebra-cabeças? Não? Então, vamos resolvê-lo juntos,

pelo caminho da matemática. Certos problemas não nos parecem, de início,

“problemas de matemática” - mas, de repente, vemos que existe uma solução

para eles que pode ser chamada de solução matemática. (Na realidade, o que

existe na vida prática não são problemas de matemática - mas soluções

matemáticas, criadas pelas pessoas para resolver problemas práticos).

O quebra-cabeça é um exemplo. A princípio, pode não estar bem claro qual

matemática usar. Geometria? Aritmética? De fato, o quebra-cabeça envolve

tanto figuras geométricas quanto números.

Se você ainda não conseguir resolvê-lo, talvez seja porque não tenha

percebido que o quebra-cabeça tem dois aspectos: o geométrico e o numérico.

Talvez também tenha lhe faltado equacionar o problema. Isto é: escolher quem

será a incógnita - geralmente chamada de x - e escrever a equação satisfeita por

essa incógnita. A partir daí - sempre deixando claro qual é a pergunta do

problema -, basta resolver a equação: quer dizer, “encontrar o x do problema”,

como se costuma dizer.

Quando conseguimos equacionar um problema, vemos claramente o que é

conhecido (pela equação) e o que se procura (a incógnita). Assim, o caminho da

solução, que leva de uma coisa à outra, muitas vezes salta aos olhos nesse

equacionamento. Vejamos no quebra-cabeça.

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Introdução

Nossa Aula

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Equacionando o quebra-cabeça A U L A

O que vemos na figura dada? Vemos 5 quadrados iguais. Eles estão unidos

e são feitos com palitos de fósforo. O problema pede que os 5 quadrados se

transformem em 4 quadrados iguais, só com o movimento de 2 palitos.

Que figura formarão, então, os 4 quadrados? Se soubermos isso, será bem

mais fácil formar a tal figura... e o problema estará resolvido.

Dois quadrados juntos podem ser formados de um dos seguintes modos:

a) os quadrados não têm lado (palito) comum; ou

b) os quadrados têm um lado comum.

Qual a diferença importante no caso de querermos formar uma ou outra

destas figuras? Pense.

2 quadrados com lado comum 2 quadrados sem lado comum

A diferença é numérica: em a), precisamos de 8 palitos; já em b), precisamos

de apenas 7 - pois “economizamos” um palito quando os quadrados são

vizinhos, tendo um lado comum.

E no nosso caso? Queremos formar 4 quadrados, sem que sobrem palitos.

Qual é a pergunta crucial aqui? Pense.

Isso mesmo! A pergunta é: “Quantos palitos temos?”

É só contar: temos 16 palitos. Se cada quadrado possui 4 palitos e queremos

formar uma figura com 4 quadrados - desde que não permitamos que dois

quadrados sejam vizinhos (“de parede”, isto é, de lado comum) - usaremos:

4 ´ 4 = 16 palitos. Exatamente o que temos!

Algumas tentativas irão lhe mostrar que, desenhando ou fazendo 4 quadrados

com 16 palitos, o desenho que devemos procurar formar é este:

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A U L A Está resolvido. Não lhe parece mais fácil, agora?

Pois então. Tudo teve uma seqüência muito natural, desde o momento em

que equacionamos o problema, contando o número de palitos e tentando

visualizar claramente o que havia sido pedido - neste caso, a forma da figura dos

4 quadrados.

Equacionando um problema algébrico

Rigorosamente falando, equacionar um problema envolve escrever a equa-

ção (ou as equações) de modo que ela expresse em linguagem matemática o que

foi dado no problema em linguagem comum.

Vejamos, então, como fazer isso com problemas algébricos, ou melhor, com

problemas que admitem solução algébrica.

EXEMPLO 1

Qual é o número cujo dobro, mais 5, é igual a 17?

Equacione o problema, chamando o número desconhecido de x. Vimos que

não importa a letra que usamos para designar a incógnita, isto é, o número

procurado - mas é universal o uso do x. O fato importante é que:

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