TEORIA DE GRUPOS: Grupos associados a Formas Bilineares e Sesquilineares

[pic 1]

                                     TEORIA DE GRUPOS.                               

                                           Seminário final de Curso.

  Aluno: Daniel de Oliveira Mallio.

       

Profª Dra. María Cristine Terrille.  IFSC-USP.

Instituto de Física de São Carlos da Universidade de São Paulo.

   

   

       Grupos associados a Formas Bilineares e Sesquilineares.    

   

                                                               Resumo:                            

   

     A Álgebra linear é um ramo tão antigo quanto a própria matemática. Seu  problema primordial é o de resolver a equação ax +b=0.  Entretanto é fato  que seus métodos encontraram ampla aplicação na Teoria de Grupos e Representações, que é atualmente uma  linguagem corrente dos físicos modernos  que atuam nas  mais diversas áreas, e.g, Física da Matéria Condensada, Física Nuclear, Relatividade Geral, Ótica dentre outras, e, inclusive, a modelagem matemática de Sistemas Biológicos fazem parte de suas aplicações recentes. O objetivo do seminário é fazer uma breve discussão á respeito de Grupos que preservam Formas Bilineares e Sesquilineares associadas a determinados Espaços Vetoriais. Mostraremos que os Grupos que conservam essas Formas são os que aparecem na Mecânica Quântica. Em particular falaremos do grupo SU(2) .

Palavras chave: Formas Bilineares, Formas Sesquilineares, Grupo  SU(2) , Mecânica Quântica.  

             

                 

                               

                                                      I- Definições.

Dizemos que em um espaço vetorial V≡Rn  a  função [pic 2] definida de  tal maneira  que  [pic 3]  é dita Bilinear  se for linear nos dois argumentos, i.e,

Dado os vetores [pic 4][pic 5]que satisfaz:

[pic 6]

ou seja, linearidade nas duas componentes.

Exemplo: O Produto Escalar é uma forma Bilinear

                   [pic 7]

A Forma Bilinear mais geral é da forma

 

   [pic 8]

 Dizemos uma forma Bilinear ser “Simétrica” se

                [pic 9]

 Dizemos uma forma Bilinear ser “Não Degenerada” se

                 [pic 10]

Vamos agora considerar que V seja um Espaço Vetorial sobre C, V≡Cn. Dizemos que a  aplicação [pic 11] é uma Forma Sesquilinear se:

Dado os vetores [pic 12][pic 13]que satisfaz:

[pic 14]

Considere os vetores x e y em Cn ; uma possível Forma Sesquilinear é:

                                 [pic 15]

É trivial observar  que de fato trata-se de uma Forma Sesquilinear, pois as componentes de y é linear nessa expressão e as de x são lineares nos complexos conjugados.

A Forma Sesquilinear mais geral, é definida por:

              [pic 16].

            II – Grupos associados a Formas Bilineares e Sesquilineares.

Sejam: V um espaço sobre R ou sobre C, caso a forma é dita Bilinear ou Sesquilinear respectivamente, e que, de acordo com as considerações acima podemos escrever:

                                       

                                                [pic 17] 

Para um dado operador A, real ou complexo, de acordo com a forma a ele associada. Em Rn  ,caso ao qual temos  Forma Bilineares, definimos  [pic 18]  como sendo  o conjunto de todas as matrizes reais  M inversíveis que satisfazem a relação fundamental:

                                          [pic 19].

Para todo x, y de Rn . É fácil constatar que [pic 20] constitui um grupo na operação usual de multiplicação, i.é: satisfazem as propriedades, por exemplo:

- Obviamente seu Elemento Neutro é a própria E (identidade)

                                             Mx=Ex=x  

                 

 -Fechamento: Sejam M1 e M2 pertencentes a [pic 21]. A operação M1.M2 nos retornara um elemento pertencente a  [pic 22]?

A resposta é sim, pois, podemos escrever:

                      [pic 23]                         

               

De maneira muito simples, também podemos mostrar a existência do Elemento Inverso para cada M desse conjunto; seja, Vamos olhar se M-1 pertence ao conjunto  [pic 24]; de fato, podemos escrever: