Trabalho De Calculo 3

CÁLCULO: VOLUME III

MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA

Departamento de Análise - IME

UERJ

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3

PREFÁCIO

"Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora?

Isso depende bastante de até onde você quer chegar."

Lewis Carrol - Alice no País dasMaravilhas

Mauricio A. Vilches - Maria Luiza Corrêa

Rio de Janeiro

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Conteúdo

1 GEOMETRIA ANALÍTICA 9

1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Espaços Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1 O Espaço Euclidiano Tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Sistema de Coordenadas Ortogonais no Espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Norma Euclidiana de um Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.1 Ângulos Diretores e Co-senos Diretores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.2 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.1 Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.7 Distância em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.1 Paralelismo e Perpendicularismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.8.2 Forma Simétrica da Equação da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.8.3 Distância de um Ponto a uma Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.9 Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.9.1 Ângulo entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.9.2 Paralelismo e Perpendicularismo entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.9.3 Distância de um Ponto a um Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.10 Generalizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.10.1 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.11 Superfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.12 Superfícies Quádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.12.1 Elipsóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.12.2 Hiperbolóide de uma folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.12.3 Hiperbolóide de duas folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.12.4 Parabolóide elítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.12.5 Parabolóide hiperbólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.12.6 Cone elítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.12.7 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

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6 CONTEÚDO

2 CURVAS 45

2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2 Curvas Parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3 Parametrização das Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.3.2 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.3.3 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4 Parametrização de Curvas Planas Clássicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4.1 Parábola semi-cúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.4.2 Folium de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4.3 Lemmiscata de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.5 Parametrização das Roletas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5.1 Ciclóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.5.2 Epitrocóide